广东省广东实验中学附属江门学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省广东实验中学附属江门学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）(1)-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分：150分，考试时间：120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的概念，可得答案.
【详解】由，则.
故选：A.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
【详解】“，”的否定为：，.
故选：D
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解二次不等式得，再根据必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】由得，
由能推出，但推不出，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. ，与，
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断．
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；
对于B，与对应法则不同，故不是同一函数；
对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；
对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数．
故选：D
5. 已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（ ）
A. B. C. 或1D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，建立方程，利用幂函数的单调性分别验根，可得答案.
【详解】由题意可得，，解得或，
当时，，则函数不是增函数，不符合题意；
当时，，易知函数是增函数，符合题意.
故选：D.
6. 若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线，
若在区间上单调递增，则，解得，
故选：A
7. 函数满足，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用换元法求出，代入即可求.
【详解】令，则，
所以，即，
所以，
解得.
故选：D
8. 已知是定义在上偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由偶函数的性质可得，从而得函数的定义域为，由，结合函数的单调性、定义域及偶函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域为；
又因为在上为增函数，
即在上为增函数，
所以在0,2上为减函数，
又因为，
所以，
整理得，
解得或.
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据函数的奇偶性及单调性，将原不等式转化为，再结合定义域即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 存在，使得是真命题
C. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为15
【答案】AC
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误.
【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，正确；
对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，
即存在，使得是假命题，错误；
对于C：若命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
即无实数解，则，解得，正确；
对于D：因为，所以，又因为，
所以满足条件的集合有无数个，只要集合B至少包含0,1,3,4四个元素都符合题意，错误.
故选：AC.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数，是偶函数
B. 若函数，则
C. 如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减
D. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由函数奇偶性判断；对于B，作差比较大小；对于C，由奇函数性质判断；对于D，由抽象函数求定义域方法即可求.
【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，
，
所以，故B正确；
对于C，令，定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D，若函数的定义域是，则，
所以，所以，
所以函数的定义域为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若为上的奇函数，则____________．
【答案】0
【解析】
【分析】由奇函数定义即可求.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，
所以，
所以.
故答案：0
13. 若，则的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即x=1时等号成立，
故答案为：3
14. 已知函数是减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 化简或求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可.
（2）根据指数幂运算求解即可.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
16. 已知集合，集合．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再根据交集、并集、补集定义求解即可；
（2）由题意可得，再由集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
因为，
当时，，
所以；或；
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？
【答案】（1）
（2）90万件
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式；
（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故
【小问2详解】
时，，
当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当即时取到等号，
，
时，取得最大值，
18. 已知函数
（1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
（2）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（3）若定义域为，解不等式
【答案】（1）的定义域为R，为奇函数
（2）证明过程见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）求出定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式.
【小问1详解】
的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕.
【小问2详解】
任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕.
【小问3详解】
，即
由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
（1）若.
①求此函数图象的对称中心；
②求的值；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.
【答案】（1）①；②
（2）答案详见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目所给推广知识求得的对称中心并由此求得的值.
（2）结合函数奇偶性、对称性等知识写出推广结论.
【小问1详解】
①，，
而满足，
即为奇函数，所以的图象关于点中心对称.
②，由①得，即，
所以
.
【小问2详解】
“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”，
类比已知条件可得，一个一个推广结论：
函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.
（答案不唯一）