广东省江门市新会区名冠实验学校高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省江门市新会区名冠实验学校高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选：A
2. 已知函数，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得.
【详解】因为，
所以，
令，得，
∴，
所以，故
故选：D.
3. 函数的导数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.
【详解】
．
故选：B.
4. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围.
【详解】由题设，令，
则，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
，且时趋向，时趋向，
要使函数既有极大值又有极小值，
即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，
所以.
故选：A
5. 在正项等比数列中，，则的公比等于（ ）
A. B. 2C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设数列的公比为，利用计算可得答案.
【详解】设数列的公比为，则，
解得（负值舍去）.
故选：B.
6. 函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果.
【详解】解法一： 由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选：B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选：B．
7. 在数列中，已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.
【详解】因为，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D．
8. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得.
【详解】由可得，
因在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，
而函数上单调递减，则，
故，即a的取值范围是.
故选：A.
二、多选题
9. 下列函数求导错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：ACD.
10. 以下关于数列的结论正确的是（ ）
A. 若数列的前n项和，则数列为等差数列
B. 若数列的前n项和，则数列为等比数列
C. 若数列满足，则数列为等差数列
D. 若数列满足．则数列为等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.
【详解】A．，时，，
时，，，
当时，上式也符合，所以成立，A选项正确.
B．，时，，
时，，，
所以，数列不是等不数列，B选项错误.
C．由等差中项定义知C选项成立；
D．若，则不成立，D选项错误.
故选：AC
11. 定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用奇函数的性质即可判断A选项；利用抽象函数的赋值法可判定B、C选项；利用赋值法结合抽象函数的奇偶性，周期性即可判断D项.
【详解】对于A，因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误；
对于B，令，则，解得．所以B正确；
对于C，令得，，
即，所以C正确；
对于D，令得．，
因，，所以，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，所以，
所以，所以，所以，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令,及构造并判定其是否相等，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果，还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.
三、填空题
12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果.
【详解】由题意得，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
13. 在等差数列中，，则________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可得的值.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：9
14. 已知函数，且，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】令，先求出为奇函数，再求导，然后令，求导分析其单调性进而得到的单调性，最后解抽象函数不等式即可.
【详解】令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又，
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现为奇函数，并利用导数来分析其单调性.
四、解答题
15. 已知函数
（1）求曲线在点（e，）的切线方程；
（2）求函数单调区间.
【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增．
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．
【详解】解：（1）由得，
所以切线斜率为
切点坐标为，
所以切线方程为，即；
（2），
令，得．
当时，；
当时，，
∴在单调递减，在单调递增．
16 已知数列满足，
（1）请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项的和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
【小问2详解】
由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到，
所以，
故．
17. 已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可；
（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域.
【小问1详解】
由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
【小问2详解】
由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
18. 已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性.
【小问1详解】
当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
19. 设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）把用表示．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将公比用a，b表示出来，再结合a，b，c构成单调递增的正项等差数列，可以证明；
（2）设等差数列 的公差为 ,进而推导出 , 从而 , 再由 , 能证明 ；
（3）设 个数所构成的等比数列为 , 则 , 由 , 可 得 ： , , 由 都为正奇数, 则 既可为正数, 也可为负数, 由此能求出结果.
【小问1详解】
由题意知，又，可得，
所以，又是正偶数，所以．
【小问2详解】
设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
又，，故，
可得，又，又，都为正偶数，
故，即，
又由（1）的结论得，，故有，即．
【小问3详解】
设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
【点睛】易错点睛：本题主要考查等差数列、等比数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）根据所要证明问题的结构，通过变形等手段将题意正确的表示出来；
（2）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点，由此要注意角标的范围；
（3）有多种情况时，应逐一讨论，做到不重不漏.
－4
－1
3
4
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值－5
单调递增