广东省广州市第二中学高一下学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市第二中学高一下学期期中数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在四个选项中，有且只有一个符合要求．
1. 已知全集，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集定义求解.
【详解】因，所以或，
故选:B.
2. 设，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由复数的运算求出，再求模长即可.
【详解】，则.
故选：B.
3. 如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可.
【详解】由直观图还原得到原图形如下，
由斜二测画法可得，，，
所以，，
所以四边形的周长为，即原平面图形的周长为.
故选：B.
4. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
5. 已知角的终边上有一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数定义可知，再利用三角恒等变换和同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.
【详解】角的终边上有一点，
根据三角函数定义得，所以
.
故选：C
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】如图，由题意得，海里，
得，在中，由正弦定理，
得海里.
故选：A.

7. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则边（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积可得，即可求解.
【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，
所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，
则
即，由，解得.
故选：C.
8. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两个或多个符合要求，少选得2分，错选得0分．
9. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B. 若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
【答案】ABC
【解析】
【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项.
【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；
公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；
空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；
若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.
故选：ABC
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形．B. 若，则
C. 若，则是钝角三角形．D. 若，则为锐角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据诱导公式化简，即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据向量的数量积的定义即可判断C；将等式变形为，即可判断D.
【详解】A：由，得或，
得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B：由，得（R为外接圆半径），
由正弦定理得，所以，故B正确；
C：由，得，即，即，
又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故C正确；
D：由，知c最大.则，有，
所以，即，所以角C为锐角，
又角C最大，所以为锐角三角形，故D正确.
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A正确；
求出得到函数在上不是增函数，得选项B错误；
求出图象变换后的解析式得到选项C正确；
求出函数的对称轴方程，得到选项D正确.
【详解】A, 如图所示：，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，故选项A正确；
B, 把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，
，，
，
在，上不单调递增，故选项B错误；
C, 把的图象向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故选项C正确；
D, 设当，所以函数的图象关于直线对称，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式，再求待定系数，最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的.
12. 已知函数图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ，B. 的值域为
C. 若，则D. 若，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】过原点得，由，可判断A；由得可判断B；画出的图象可判断C；由为偶函数可判断D.
【详解】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，∴时，，
由题，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B正确；
由图知，在上单调递减，因为，则，
故C错误；
∵为偶函数，∴，
又∵，∴，∴，∴，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分（16题第一个空3分，第二个空2分）．
13. 已知复数z满足，则的最大值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解.
【详解】设复数，则，且.
，
当时，取到最大值16，
所以.
故答案为：4.
14. 如图，在中，，E是上一点，且，则的值等于________.
【答案】
【解析】
【分析】由图形得B，E，D三点共线，可得，再由已知得，求解可得答案.
【详解】∵B，E，D三点共线，，且，由题可知：，∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的线性表示，三点共线的向量定理的运用，属于基础题.
15. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．
【详解】棱柱的体积公式是，其中是q底面积，是高．
在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么图1中水面的高度是棱柱高的，即为．
故答案为：．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则实数________，的最小值为________．
【答案】 ①. 9 ②. ##
【解析】
【分析】将转化为弦，利用正、余弦定理化简可得，进而求出k，再次利用余弦定理，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】，
，
，
，
，
由正弦定理和余弦定理，得，
整理得，即，所以；
由余弦定理，得
，
当且仅当即等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：9；.
四、解答题：本题共6个大题，满分70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，求以边AD所在直线为轴，其它三边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积．
【答案】
【解析】
【分析】由题意该几何体为一个圆台中挖去一个圆锥的几何体，如图，结合圆台与圆锥的体积公式计算即可求解.
【详解】四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体为一个圆台中挖去一个圆锥的几何体，如图，
又，，，
所以，得，
所以该几何体的体积为
.
所以该几何体的体积为.
18. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；
（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得：，
即，
所以，
又，所以，
所以.
【小问2详解】
因为为上的中线，所以，
即，
所以，
即，
所以 ①，
由余弦定理可得：，
所以 ②
①-②得：，
所以.
19. 已知函数．
（1）解不等式，其中．
（2）在锐角中，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据得到，然后解不等式，可得求解即可；
（2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
，
，即，
，解得
故不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意可得且，可得，
∵，
∴，
，
∵，则，
∴．
故的取值范围为.
20 已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出，结合两角和的余弦公式化简可得结果；
（2）求出的值，利用两角和的正切公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：，则
，
因此，.
【小问2详解】
解：因为且，所以，，
因为，则，，
因为，故，
所以，，所以，，
所以，，
因此，.
21. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
【答案】（1）函数是“类函数”；答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得若，则可得，从而得到答案.
（2）由条件，可得在上恒成立，可得，由为其定义域上的“类函数”，则实数，满足，对函数进行分段讨论，可得出答案,
【详解】（1）函数是“类函数”.
由题意，函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即，整理得，
所以存在满足所以函数是“类函数”.
（2）由在上恒成立，可得，
因为为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数使得，
①当时，则，所以，所以，即，
因函数，为单调增函数，所以；
②当时，，此时，不成立；
③当，则，所以，所以
因为函数为单调减函数，所以；
综上所述，求实数取值范围.
【点睛】本题考查分段函数的应用，新定义“类函数”，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查求参数的范围，属于中档题.
22. 已知函数，，其中，．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若函数恰好存在三个零点，且，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）a的取值范围为．
【解析】
【分析】（1）化简函数的解析式，分析出函数的单调性，分、两种情况讨论，可求出函数在上的最小值；
（2）分、两种情况讨论，利用韦达定理和求根公式可得出的表达式，并求得的取值范围，根据可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为
所以，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
当时，即当时，；
当时，即当时，.
综上所述，函数在上的最小值为.
【小问2详解】
，不妨设，
因为，
①当时，即当时，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由图象可知、是方程的两根，是方程的较大根，
则由韦达定理与求根公式可知，，
则，
可得，
令，而，
则，
因为函数在上单调递减，
当时，，则；
②由可得，，可得，
且当时，即当时，
由可得，
由图象可知、是方程的两相异根，是方程的较大根，
由韦达定理以及求根公式可得，，
所以，，
可得，
令，而，
则.
由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
且当时，，
则上单调递增，
当时，.
综上所述，，
又满足，故，即.
所以a的取值范围为．