广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市天河区高二下学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共16页。
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 以下八个数据：的第80百分位数是（ ）
A. 68B. 70C. 71D. 70.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．
【详解】解：八个数据从小到大排列：58，60，61，63，68，70，71，72，
因为，
所以八个数据的第80百分位数为第7个数，即为71．
故选：C．
2. 甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得.
【详解】设事件表示“密码被成功破译”，则事件表示“密码没有被成功破译”，
由题意可知，，
所以．
故选：D．
3. 已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A. 20B. 18C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.
【详解】根据分布列可知，解得，
，
，
所以.
故选：B.
4. 某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ）
（若，则）
A. 1359B. 2718C. 3414D. 4773
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可.
【详解】因为，即，，
所以,
所以,
所以抽测成绩在的学生人数大约为人.
故选：A.
5. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（ ）
A. 160B. 20C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知，从而可得展开式通项，令即可求得常数项的值．
【详解】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，
所以，即展开式中常数项为．
故选：C．
6. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】因为，所以，，所求切线的斜率，
因此，所求切线的方程为，整理得．
故选：A．
7. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 五位二进制数与出现的概率相同
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可.
【详解】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响，
故的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得，
故，故A错误；
因为，所以，故B错误；
，故C错误，
五位二进制数与出现的概率均为，故D正确．
故选：D．
8. 若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断与的大小关系，即可得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再结合对数函数、二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
先判断与的大小关系，
因为恒成立，
所以，即，
因为，
故，
设，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
因为，所以，则，故A错误，B正确；
由于在不单调，故C、D错误．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键时判断，从而将问题转化为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（ ）

A. 函数在上只有一个极小值点
B. 函数在上有两个极大值点
C. 函数在上可能没有零点
D. 函数在上一定不存在最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项．
【详解】解：由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数，
即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确；
若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确；
函数可能没有零点，所以C正确．
故选：ABC．

10. 变量的一组样本数据如下表所示：
通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为，则（ ）
A. 变量之间呈负相关关系B. 变量之间的相关系数
C. D. 样本点的残差为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，根据相关系数的公式可判断B，根据线性回归方程必过点可判断C，根据残差的定义可判断D．
【详解】对于A．根据线性回归方程为，可知回归系数，故判断，之间呈现负相关关系，故正确，符合题意；
对于B．相关系数，故错误，不符合题意；
对于C．根据表中数据，计算，，
代入回归方程，得，解得，正确，符合题意；
对于D．由可知，
所以样本点的残差为，故正确，符合题意．
故选：ACD．
11. 校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（ ）
A. A与相互独立B. 与互斥
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】AC选项，先计算出每个区域至少派1名志愿者的方案数，进而得到，，同理可得，求出，根据，得到A错误，C正确；根据互斥事件的定义得到B正确；D选项，求出，，利用条件概率求出答案.
【详解】AC选项，每个区域至少派1名志愿者，方案为，故有种选择，
志愿者甲单独派往铅球区域，有种选择，
志愿者甲和另一人同时派往铅球区域，先从乙，丙和丁选1人，再将剩余2人进行全排列，有种选择，
综上，，故，同理可得，
事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列，
故情况数为，故，C正确，
由于，A与不独立，A错误；
B选项，志愿者乙要么派往铅球区域，要么派往跳远区域，不可能同时派往两个区域，故与互斥，B正确；
D选项，事件：甲派往铅球区域，乙派往跳远区域，剩余丙丁安排如下：
若丙和丁选择1人派往铅球区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁选择1人派往跳远区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择，
若丙和丁均在跳高区域，则有种选择，
综上，，，
故，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记产品是优等品为事件，来自甲地为事件，来自乙地为事件，
则，，，，
所以，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为.
故答案为：
13. 一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有______种不同的去法．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可．
【详解】7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法，
没人去的有种，
故必须有人去的去法有种．
故答案为：．
14. 近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______．
（参考公式：决定系数，参考数据：）；
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数.
【详解】由，将两边同时取对数可得，
令，由最小二乘法得经验回归方程为，
所以，
又
，
所以．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数（）
（1）求的单调区间；
（2）当有3个零点时，求的取值范围．
【答案】（1）增区间，，减区间
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果；
（2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可.
【小问1详解】
因为，
令，得或1；
令，得或；
令，得，
所以的增区间为，，减区间为.
【小问2详解】
由（1）易得的极大值为，极小值为
因为有3个零点，所以，解得.
即取值范围为.
16. 某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）．
（1）求直方图中的值；
（2）估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）；
（3）若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.05；
（2）497.1克； （3）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）由频率之和为1即可求解；
（2）利用频率分布直方图中中位数的求解方法即可得解；
（3）由题可得X所有可能的取值为0，1，2，然后利用超几何分布求出对应的概率即可得解．
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以直方图中a的值是0.05；
【小问2详解】
由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，
则，，
所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为，
则，解得：，
所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克；
【小问3详解】
样本中合格产品数量为，
在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X，
则X所有可能的取值为0，1，2，
于是，，，
所以X的分布列为：
则．
17. 某单位拟实行新的员工考勤管理方案．方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查，结果如下：300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人．
（1）完成如下列联表：
单位：人
根据的独立性检验，能否认为性别与对新考勤管理方案满意有关联？
（2）为了得到被调查者对所提问题的诚实回答，消除被调查者对于敏感问题的顾虑，决定调整调查方案．新的调查方案中使用两个问题：
①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意？
先让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外，完全相同）的袋子中随机摸取两个球（摸出的球再放回袋中）．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题．问卷上没有问题，答题者只需选择“是”或者“否”．由于回答的是哪个问题是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑的诚实回答．
（i）根据以上调查方案，求某个被调查者回答第一个问题的概率；
（ii）如果300人中共有206人回答“是”，请估计对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比．（每个员工公历生日是奇数的概率取为）
附：．
【答案】（1）完成列联表见解析；性别与对新考勤管理方案满意有关联，理由见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可：利用公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得.
【小问1详解】
列联表如下：单位(人)
，
根据的独立性检验，性别与对新考勤管理方案满意有关联；
【小问2详解】
（i）由题意摸到两球同色的概率，
某个被调查者回答第一个问题的概率为；
（ii）回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率取为，
所以回答第一个问题，选择是的同学人数为人，
回答第二个问题，选择是的同学人数为人，
对新考勤管理方案满意的员工所占的百分比.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若定义域内有两个极值点，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；
（2）表示出，通过求导进行证明．
【小问1详解】
，，
不妨设，
则关于的方程的判别式，
当时，，，故，
函数在上单调递减，
当时，，方程有两个不相等的正根，，
，
当及时，
当时，，在，递减，在递增；
综上所得，当时，在，递减，在递增；当时，在上单调递减.
【小问2详解】
证明：由（1）知当且仅当时有极小值和极大值，
且，是方程的两个正根，则，，
，
令，
当时， ，
则在内单调递减，
故，
．
19. 现有枚游戏币，游戏币是有偏向的，向上抛出后，它落下时正面朝上的概率为．甲、乙利用这枚游戏币玩游戏．
（1）将这3枚游戏币向上抛出，记落下时正面朝上的个数为，求的分布列；
（2）将这枚游戏币向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）通过已知概率求出可取值，再分别求出概率，即可列出分布列．
（2）通过分类讨论解出抛一次落下时正面朝上的个数为奇数的概率与比较即可．
【小问1详解】
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，则，，2，，．
可取0，1，2，3．
由事件相互独立，则．
．
．
．
故分布列为：
【小问2详解】
因为正面朝上个数为奇数，则甲胜．
现在考虑依次抛这枚游戏币，即按照，，，的顺序抛这枚游戏币．
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，2，，．
举两个例子：
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故只能正面朝上，；
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，此时有两种情况：
①前面抛出游戏币正面朝上个数为奇数，反面朝上；
②前面抛出正面朝上个数为偶数，正面朝上．
故．
故当时，有，
（第一项“”表示前次正面朝上游戏币个数为奇数，从而加上0仍为奇数；
第二项“”表示前次正面朝上游戏币为偶数，从而加上1为奇数）．
故．
即，即，．
记，则，，
故数列为首项是，公差为的等差数列，故，
则，故，，2，3，，，则，故公平．
【点睛】关键点点睛：当时，有，化简得到，．记，则，，故数列为首项是，公差为等差数列．这一步是解题的关键.
2
3
6
6
8
10
12
6
3
2
0
1
2
性别
满意
合计
是
否
男
女
合计
0.05
0.025
0.005
3.841
5.024
7.879
性别
满意
合计
是
否
男
147
3
150
女
138
12
150
合计
285
15
300
0
1
2
3