2021-2022学年广东省广州市越秀区高一下学期期末数学试题（含答案）

2021-2022   越秀区学年高一第二学期期末调研测试

数学试卷

本试卷共22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 不等式的解集是（    ）

A.    B.   C.     D.

2. 设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 是两个不同平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

5. 已知中，点M是线段的中点，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知向量满足，且，则与夹角的余弦值为（    ）

A  B.  C.  D.

7. 如图：已知正四面体中E在棱上，，G为的重心，则异面直线与所成角为（    ）

A  B.  C.  D.

8. 平面四边形中，，则最小值（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列结论正确的是（    ）

A. 某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人

B. 某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正而朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6

C. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2

D. 某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 已知向量，则与垂直的单位向量为或

B. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为

C. 已知i为虚数单位，若是实系数一元二次方程的一个根，则

D. 已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则

11. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 若，则函数的最大值为

C. 若，则

D. 若，则的最小值为

12. 如图，四棱锥底面为菱形，，底面，P是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ）

A. 若平面，则 B. B到平面的距离为

C. 当P为中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D. 当P为中点时，有最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，若A、C、D三点共线，则____________．

14. 某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为____________．

15. 已知S为圆锥的顶点，O为底面圆心，．若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为____________．

16. 某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且____________．

（1）求角B的大小；

（2）若，的面积为，求周长．

18. 为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．

（1）求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；

（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；

（3）现知道直方图中成绩在内的平均数为136，方差为8，在内的平均数为144，方差为4，求成绩在内的平均数和方差．

19. 如图，在正三棱柱中，已知，且D为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的余弦值．

20. 2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为，甲、乙两公可都研发成功的概率为，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为，各公司是否研发成功互不影响．

（1）求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；

（2）若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．

21. 如图，在平面四边形中，．

（1）若，求的面积；

（2）若，求．

22. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，O是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值．

2021-2022学年第二学期期末调研测试

高一年级数学 参考答案

1. C    2. D    3. B     4. D    5. A．   6. B．   7. A.     8. A

9. AD    10. BC     11. ACD．     12. ABC．

13.    14.      15.     16.

17. 【详解】

【1】若选①，因为，

所以由正弦定理得,

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

若选②，因为，

所以由正弦定理得，化简得，

所以由余弦定理得，

因，所以，

若选③，因为，

所以，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

【2】因为的面积为，，

所以，得，

因为，，

所以由余弦定理得

，

所以，所以，

所以，

所以周长为

18. 详解【1】

解：设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意，解得，

所以第一组的频率为，则第二组的频率为，

补全频率分布直方图如下：

【2】

解：由，设上四分位数，则，

所以，解得，

所以全市“良好”以上等级的成绩范围；

【3】

解：由频率分布直方图可知中有人，设为，

则

，

则

中有人，设为，

则

，

则

所以成绩在内的平均数为；

所以

所以方差为

19. 详解【1】

证明：连接，设，连接，

在正三棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，

又为的中点，所以，平面，平面，

所以平面

【2】

解：取的中点，连接、，在正三棱柱中，平面，平面，

所以，又为等边三角形，所以，，平面，所以平面，

所以为直线与平面所成角，

因为，所以，

，

所以，

所以直线与平面所成角余弦值为；

20. 详解【1】

解：设甲、乙、丙公司研发成功分别为事件A，B，C

则，，

由于各公司是否研发成功互不影响，事件A，B，C相互独立

，

故乙、丙两家公司各自研发成功的概率分别为.

【2】

解：设一轮研发“取得重大突破”的目标为事件M

设实现“取得重大突破”目标为事件N，

所以实现“取得重大突破”目标的概率为：.

21. 详解【1】

因为，

由余弦定理得，即，

由余弦定理得，

所以，

所以的面积

【2】

在中，由正弦定理得，即①，

在中，由正弦定理得，即②，

①②联立可得，

因为，所以

22. 详解【1】

连接，

因为底面中，，，

所以四边形为正方形，所以，

因为侧面为等边三角形，O是的中点，

所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为,

所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

【2】

因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点，

所以，，，

因为平面，平面，

所以，

所以，

因为，

所以，所以,

设点到平面的距离分别为，

因为，所以，

，解得，

因为三棱锥的体积为，

所以，所以，解得，

所以，所以，

因为，所以，

取靠近点的四等份点，连接，则∥，

因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

过点作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以为二面角的平面角，

因为，所以，

因为,

所以四边形为矩形，所以，

所以在中，，

所以二面角的正切值为