湖南汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月月考数学试题-含答案

这是一份湖南汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月月考数学试题-含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量 a,b 满足 a=3,b=2,2a−b=213 ，则 a 与 b 的夹角为( )
A. π2 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π6
2. 若复数 z 满足 z⋅i=−1+i ，则在复平面内 z 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数 fx=sinx+x3+x ,则 a>−1 是 fa+1+f2a>0 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列 an 满足 a1=2,a2=6 ,且 an+2−2an+1+an=2 ,若 x 表示不超过 x 的最大整数 (例如 1.6=1,−1.6=−2 ),则 22a1+32a2+⋯+20242a2023= ( )
A. 4048 B. 4046 C. 2023 D. 2024
5. 已知 fx=2sin2x+π3 ,若 gx=sinωx+φω>0,0fb B. fb>fa>f−1
C. f−1>fb>fa D. fa>fb>f−1
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 ξ∼N1,σ2,Pξ0 的焦点， K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛物线 C 上,设 ∠KPF=α,∠PKF=β,∠PFK=θ ,则下列结论正确的是 ( )
A. 抛物线 C 在点 p2,p 处的切线过点 K B. β 的最大值为 π3
C. tanβ=sinθ
D. 存在点 P ,使得 α=32β
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， M,N,O 分别为 AB,CC1,A1C1 的中点，点 P 是正方体侧面 ADD1A1 上的一动点 (含边界),则下列说法正确的是 ( )

A. 异面直线 MN 与 A1C1 所成角的余弦值为 32
B. 当点 P 为棱 AA1 的中点时,直线 PO 与直线 MN 平行
C. 若保持 MP=2 ，则点 P 在侧面 ADD1A1 内运动路径的长度为 3π2
D. 过直线 MN 的平面截该正方体的内切球 O′ 所得截面圆的面积的最小值为 π2
三、填空题
12. 已知抛物线 C:y=x2 ,则抛物线 C 准线方程为:_____.
13. 2x+1x4 的展开式中 x2 的系数为_____.
14. 已知等腰梯形 ABCD 是半径为 2 的圆的内接四边形,且 AB//CD,∠ABC∈0,π3 ,则等腰梯形 ABCD 的四条边长的乘积的最大值为_____.
四、解答题
15. 已知 m=sinx,3,n=1,csx ,且 fx=m⋅n .
(1)求 fx 的单调递增区间.
(2)在锐角 △ABC 中， fA=3 ， b=4 ，求 c 的取值范围.
16. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, ∠ADC=90∘,AD//BC,AB⊥AC,AB=AC=2,E 点在 AD 上,且 AE=2ED ,点 F 在 BC 上,且 CF=2FB .

(1)求证:平面 PEF⊥ 平面 PAC ；
(2)若直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45∘ ，求二面角 A−PB−E 的余弦值；
(3)在第(2)问条件下，线段 PD 上是否存在点 Q ，使得 FQ// 平面 PBE ，若存在，求出 PQPD 的值, 若不存在, 请说明理由.
17. 已知曲线 C 的方程为 x+12+y2+x−12+y2=4 .
(1)求曲线 C 的离心率；
(2)设曲线 C 的右焦点为 F ，斜率为 k 的动直线 l 过点 F 与曲线 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P ,证明: PFAB 为定值.
18. 已知函数 fx=ax−ax−lnxa>0
(1)已知 fx 在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围.
(2)已知 gx=fx+ax 有两个零点 x1,x2 ，
① 求实数 a 的取值范围
② 当 x1>4x2 时,证明 x1x22>16
19. 设集合 M={1,2,3,⋯,n}n≥2 ， A 为 M 的非空子集，随机变量 X ， Y 分别表示取到子集 A 中的最大元素和最小元素的数值.
(1)若 n=5 ,求 PX=4 ;
(2)若 n=9 ，
(i) 求 X=8 且 Y=2 的概率；
(ii) 已知 EX+Y=EX+EY ,求随机变量 X+Y 的均值.
1. B
由 2a−b=213 可得 2a−b=4a2+b2−4a⋅b=36+4−4a⋅b=213 ,
故 a⋅b=−3 ,结合 a=3,b=2 ,故 cs⟨a,b⟩=a⋅ba⋅b=−12 ,
a,b∈0,π ,故 ⟨a,b⟩=2π3 ,
故选: B
2. A
∵z⋅i=−1+i,∴z=−1+ii=i+i2i=1+i ,
因此,复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限.
故选: A.
3. B
由题意可得: f′x=csx+3x2+1>0 恒成立,
所以函数 fx=sinx+x3+x 在 R 上递增,
又 f−x=sin−x+−x3+−x=−sinx+x3+x=−fx ,
所以函数 fx 是奇函数,
当 fa+1+f2a>0 ,即 fa+1>−f2a=f−2a ,
所以 a+1>−2a ,解得 a>−13 ,
当 a>−1 时,则 a>−13 ,显然不成立;
反之,当 a>−13 ,则 a>−1 ,成立,
所以 a>−1 是 fa+1+f2a>0 的必要不充分条件
故选: B.
4. D
由题设知 an+2−an+1−an+1−an=2,a2−a1=4 ,
故 an+1−an 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,则 an+1−an=4+2n−1=2n+2 ,
由累加法可知当 n≥2 时,
an−an−1+an−1−an−2+⋯a2−a1=2n+4n−12=n+2n−1,
所以 an=nn+1,n≥2 ,又 a1=2 也符合该式,所以 an=nn+1 ,
所以 n+12an=1+1n
又 n=1 时, 22a1=2,n≥2 时, 32≤1+1nb .
由 f−x=−x2+cs−x=x2+csx=fx ,则 fx 为偶函数,
又 f′x=2x−sinx ,则 f′′x=2−csx>0 ,即 f′x 为增函数,又 f′0=0 ,
所以,当 x>0 时 f′x>0,fx 为增函数.
令 y=ex−x−1 且 x∈0,+∞ ,则 y′=ex−1>0 ,即 y 递增,
所以 y>yx=0=0 ,即 ex>x+1 在 0,+∞ 上恒成立,取 x=0.03 ,得 e0.03>1.03 ,
所以 >0.98×1.03=1.0094>1 ,故 a>b>1 ,
综上, fa>fb>f1=f−1 .
故选: D.
9. AC
随机变量 ξ∼N1,σ2 ,正态曲线关于 x=1 对称,则 Pξ≤−3=Pξ≥5 ,
Pξ≥5=1−Pξ16
19. 1831
(2) (i) 32511 ; (ii) 10
(1) 当 n=5 时,集合 M 的非空子集的个数为 C51+C52+⋯+C55=31 ,
其中这些子集中最大元素为 4 的集合个数为 C30+C31+C32+C33=8 ,
∴PX=4=831 .
(2)(i)当集合 A 中的最大元素和最小元素分别为8,2，
元素个数最少时 A={2,8} ,
元素个数最多时为 7 元素集 A={2,3,4,5,6,7,8} ,
∴ 集合 A 的可能情况有 C50+C51+⋯+C55=25=32 个;
当 n=9 时,集合 M 的非空子集个数为 29−1=511 个;
∴PX=8且Y=2=32511 .
(ii) 当 n=9 时,集合 M 的非空子集个数为 511 个,
其中,最大值 X=9 的子集可视为 {1,2,3,⋯,8} 的子集与集合 {9} 的并集共有 28 个,
最大值 X=8 的子集可视为 {1,2,3,⋯,7} 的子集与集合 {8} 的并集共有 27 个,
最大值 X=k 的子集可视为 {1,2,3,⋯,k−1} 的子集与集合 {k} 的并集共有 2k−1 个,
∴PX=k=2k−1511 .
最小值 Y=1 的子集可视为 {2,3,⋯,9} 的子集与集合 {1} 的并集共有 28 个,
最小值 Y=k 的子集可视为 {k+1,k+2,⋯,9} 的子集与集合 {k} 的并集共有 29−k 个,
∴PY=k=29−k511 ,
∴EX+Y=EX+EY
=9×28511+8×27511+⋯+2×21511+1×20511+1×28511+2×27511+⋯+8×21511+9×20511
=1020511+21511+⋯+28511
=10×20+21+22+⋯+28511=10×1×1−291−2511=10×29−1511=10