湖南省岳阳市2026届高三下学期开学考试数学测试卷含答案

这是一份湖南省岳阳市2026届高三下学期开学考试数学测试卷含答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣lg2x−10 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,以 F1F2 为直径的圆与 C 在第二象限交于点 P ,若坐标原点 O 到直线 PF1 的距离为 32a ,则双曲线 C 的离心率为 ( )
A. 32 B. 52 C. 102 D. 62
二、选择题: 本题共 3 小题.每小题 6 分.共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校高一、高二、高三 3 个年级的学生人数分别占该校学生总人数的 40%，30%，30%， 其中高一、高二、高三 3 个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的 60%，70%， 80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有( )
A. 该学生的眼睛近视的概率为 0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 0.3
D. 如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为 823
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动, 通过讲座、公益市集、志愿服务等形式,重点帮扶特殊困难群体. 现有 A,B,C 共 3 场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者, 小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张, 卡片上的字母代表小林参加的活动场次,例如抽到写有 A,B,C3 个字母的卡片代表小林参加 A,B,C3 场活动, 则 ( )

A. “小林参加 A 场活动”与“小林参加 B 场活动”互斥
B. “小林参加 A 场活动”与“小林参加 B 场活动”相互独立
C. “小林不参加 A 场活动”与“小林不参加 B 场活动”相互独立
D. “小林不参加 A 场活动”与“小林参加 B 场或 C 场活动”相互独立
11. 在 △ABC 中，边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C ，若 a2=b2+c2−3bc,sinC=2csB ，则 ( )
A. a=3b B. b=3a C. c=3b D. c=2a
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等比数列 an,a2=2,a5=16 ,若数列 bn 满足 bn=an+lg2an ,则数列 bn 的前 n 项和 Tn= _____
13. 已知函数 fx=ex−e−x−2sinx+1 ,则满足 f2m−1+fm−2>2 的实数 m 的取值范围是_____.
14. 常数 a>0 ，椭圆 x2+a2y2=2a2 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 a 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算 步骤.
15. 记 △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 bcsC+2acsAcsB=−c .
(1)求A；
(2)若 a=43 ，求 BC 边上的高的最大值.
16. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，平面 PAC⊥ 平面 ABC ， ΔPAC 是边长为 2 的等边三角形， AB=22,∠BAC=45∘ .

(1)证明: BC⊥PA ；
(2)若线段 PC 上的点 Q 满足直线 AP 与直线 BQ 所成角的余弦值为 510 ，求点 Q 到直线 AB 的距离.
17. 已知点 M4,−1 ，点 N 在圆 A:x2+y−22=9 上运动，线段 MN 的中点 B 的轨迹为 B 线 E .
(1)求曲线 E 的方程；
(2)过圆心 A 的直线 l 与曲线 E 相切,求直线 l 的方程.
18. 已知甲、乙两个袋子, 其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球, 乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋, 则后续每次均选择甲袋摸球; 若选中乙袋, 则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 X 的分布列及期望 EX ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
19. 已知函数 fx=lnx+sinx,gx=sinxex .
(1)证明函数 fx 存在唯一零点;
(2) fx 的零点为 x0 ，证明 gx0