湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期2月考数学试题含答案

这是一份湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期2月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知 A,B 两点在以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上,并满足 AF=3FB ,过弦 AB 的中点 M 作拋物线对称轴的平行线，与准线交于 N 点，则 MN 的长为( )
A. 13 B. 12 C. 83 D. 34
2. 已知空间向量 a=x,1,2,b=4,2,4 ，若 a⊥b ，则 x= ( )
A. 1 B. −52 C. −32 D. 3
3. 直线 y=3 的倾斜角为 ( )
A. 60∘ B. 30∘ C. 90∘ D. 0∘
4. 设 F1−5,0,F25,0 为平面上两个定点,动点 Px,y 满足 PF1−PF2=10 ,则动点 P 的轨迹为( )
A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线
5. 已知数列 an 满足 a1=1,an−an−1=nn≥2 ,设数列 1an 的前 n 项和为 Sn ,则 S2026= ( )
A. 10121013 B. 20252027 C. 20251013 D. 40522027
6. 如图,在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是正方形； AA1=6,AB=4 ，且 ∠C1CB=∠C1CD=π3 ,则错误的是 ( )

A. AC1=AB+AD+CC1
B. AB⋅CC1=24
C. AC1=25
D. 直线 CC1 与平面 ABCD 所成的角为 π4
7. 设函数 fx=x3+12x2−2x+5 ,若对任意的 x∈−1,2 有 fxb>0 相交于 A,B ,且 AB 的中点为 M−1,12 ,则椭圆 C 的离心率为 ( )
A. 33 B. 32 C. 22 D. 12
二、多选题
9. 如图,矩形 ABCD 中, AB=2,AD=1,E 为 AB 的中点,将 △ADE 沿 DE 翻折成 △A1DE , 得到四棱锥 A1−BCDE ，点 M 在线段 A1C 上，则()

A. DE⊥A1C
B. 存在 M ,使 BM// 平面 A1DE
C. 不存在 M ,使 BM⊥ 平面 A1DC
D. 当四棱锥 A1−BCDE 的体积最大时，点 D 到平面 A1BE 的距离是 63
10. 点 P 在圆 C1:x2+y2=1 上,点 Q 在圆 C2:x−32+y+42=9 上, M4,−2 为圆 C2 内一点,则下列结论中正确的是 ( )
A. 圆心距 C1C2=5 B. PQ 的最小值为 2
C. PQ 的最大值为 9 D. 圆 C2 经过点 M 的最短弦的长为 4
11. 已知函数 fx=x3−ax2−x+1 ，则下列说法一定正确的是( )
A. fx 有两个极值点
B. 存在正数 x0 ,使得 fx 在 0,x0 上单调递增
C. 存在正数 x0 ,使得 fx 在 0,x0 上单调递减
D. 直线 y=−x+1 是曲线 y=fx 的一条切线
三、填空题
12. 已知等差数列 an ，且 a3+a5=10,a2a6=21 ，则 an= _____.
13. 设 fx=ex2 ，则 f′x= _____，其在点 0,1 处的切线方程为_____.
14. 已知实数 x1,x2,y1,y2 满足 x12+y12=4,x22+y22=9,x1x2+y1y2=0 ，则 x1+y1−4+x2+y2−9 的最大值是_____.
四、解答题
15. 已知村庄 B 在村庄 A 的东北方向，且村庄 A 、 B 之间的距离是 33−3km ，村庄 C 在村庄 A 的北偏西 75∘ 方向，且村庄 A 、 C 之间的距离是 6km ，先要在村庄 B 的北偏东 30∘ 方向建立一个农贸市场 D ,使农贸市场 D 到村庄 C 的距离是到村庄 B 的距离的 7 倍.
(1)判断村庄 C 在村庄 B 的什么方向上? 并说明理由.
(2)求农贸市场 D 到村庄 B 、 C 的距离之和.
16. 已知数列 an 满足 a1=1,anan+1=an−2an+1 .
(1)证明:数列 1+1an 是等比数列；
(2)记 an 的前 n 项和为 Sn ，证明: Snb>0 的上、下焦点， A0,−23 是椭圆 C 的一个顶点， P 是椭圆 C 上的动点， P ， F1 ， F2 三点不共线，当 ΔPF1F2 的面积最大时，其为等边三角形.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 M 为 AP 的中点， O 为坐标原点，直线 OM 交直线 y=43 于点 D ，过点 O 作 OE//AP 交直线 y=43 于点 E ,证明: ∠OEF1=∠ODF1 .
19. 已知函数 fx=xalnxa>0 ,将曲线 y=fx 绕原点逆时针旋转 π4 ,得到曲线 y=gx.
(1)证明:存在唯一的实数 a0 ，使得曲线 y=gx 是某个函数的图形，并求出 a0 ；
(2)取 a=a0 ，设 Mm,fm 是曲线 y=fx 图象上任意一点，将曲线 y=fx 绕点 M 逆时针旋转 π4 ,得到函数曲线 y=gmx ,设函数 gmx 的极小值为 hm ,求 hm 的单调性.
1. C
F1,0 ,设且 y1>0,y2