汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知椭圆的短轴长为2,焦距为,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
2．函数的图象在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
3．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则B等于( )
A.30°B.45°
C.30°或150°D.45°或135°
4．已知函数的导函数的图象如图,则( )
A.函数有2个极大值点,3个极小值点
B.函数有1个极大值点,1个极小值点
C.函数有3个极大值点,1个极小值点
D.函数有1个极大值点,3个极小值点
5．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问该人第四天走的路程为( )
A.48里B.24里C.12里D.6里
6．无论k为何实数,直线恒过一个定点,这个定点是( )
A.B.C.D.
7．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应,“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉;甲戌、乙亥、丙子……癸未;甲申、乙酉、丙戌……癸巳;……,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2022年是“干支纪年法”中的壬寅年,那么2086年出生的孩子属相为( )
A.猴B.马C.羊D.鸡
8．已知函数,若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间向量,,则下列正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则( )
A.
B.的展开式中项的系数为56
C.奇数项的二项式系数和为128
D.的展开式中项的系数为56
11．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点（点A位于第一象限）,与C的准线交于D点,F为线段AD的中点,准线与x轴的交点为E,则( )
A.直线l的斜率为B.
C.D.直线AE与BE的倾斜角互补
三、填空题
12．等差数列的前n项和为,,,则数列的公差_____________.
13．已知的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中的系数为_____________.
14．在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为_______________.（用数字作答）
四、解答题
15．已知矩阵,向量.
（1）求A的特征值、和特征向量、;
（2）求的值.
16．已知函数,
(1)若,求的极值;
(2)当时,在上的最大值为10,求在该区间上的最小值.
17．已知数列满足：当n为奇数时,,当n为偶数时,.
(1)若,,求;
(2)若,,,求数列的前n项和.
18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,M为棱PC的中点.
(1)证明：平面PAD;
(2)若,.
（i）求二面角的余弦值;
（ii）在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是？若存在,求出PQ的值;若不存在,说明理由.
19．已知双曲线C：（，）的右顶点，斜率为1的直线交C于M、N两点，且中点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
20．已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中.
（1）求点D的轨迹方程，并指出轨迹E.
（2）当时，点A为轨迹E与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹E交于P、Q两点，直线、分别与直线相交于M，N两点，试问：是存在定点R在以M、N为直径的圆上？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题的,,
所以,
所以离心率为,
故选：C.
2．答案：B
解析：因为,所以,,
所以的图象在处的切线方程为.
故选：B.
3．答案：D
解析：由正弦定理得,,
又,即,又, 或,
故选：D.
4．答案：B
解析：根据导函数图像可知,只有导数图像穿过x轴时的交点才是极值点,因此结合图像可以知道共有两个极值点,其中在处为极大值点在处为极小值点,而,和不是极值点.因此选择B
5．答案：B
解析：设第一天走,公比,所以,
解得,
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：原方程可化为,由直线恒过定点可知,
,解得,所以直线恒过定点
故选：B.
7．答案：B
解析：,再加上2022年本身一共是65年,60年为一个周期,
余下5年,分别是壬寅,癸卯,甲辰,乙巳,丙午,2086年出生的孩子属马;
故选：B.
8．答案：C
解析：由,得,.
记,易知在R上单调递增,
,
,,
记,
,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
,
,,
故选：C.
9．答案：AB
解析：因为,,
所以,故A正确;
,所以B正确;
,所以,不垂直,故C错误;
,故D错误.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：因为的展开式通项为,
所以的展开式的第项的二项式系数为,
所以,解得,A正确;
的系数为,B错误;
奇数项的二项式系数和为,C正确;
根据二项式定理,表示8个相乘,
所以中有1个选择,1个选择,6个选择,
所以的展开式中项的系数为,D错误;
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：易知抛物线C的焦点为,准线为,
若直线l与x轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不合乎题意,
若轴,则直线l与抛物线C的准线平行,不合乎题意,
设直线l的方程为,设点、,
联立,可得,即点,
因为点F为线段的中点,则,则,可得,
因为点A在抛物线C上,则,可得,
所以,直线l的方程为,即,
故直线l的斜率为,A对;
联立,解得或,
即点、,
易知点,所以,,,则,B对;
易知点,,,
故,C错;
,,则,
所以,直线与的倾斜角互补,D对.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：由已知可得,
解得.
故答案为：2.
13．答案：10
解析：因为的二项展开式的各项系数和为32,
令得：,解得,所以.
通项公式为：,
令,得：,
所以的系数为：.
故答案为：10.
14．答案：56
解析：求不同的取法种数可分为三类：
第一类,从四棱锥的每个侧面上除点P外的5点中任取3点,有4种取法;
第二类,从每个对角面上除点P外的4点中任取3点,有2种取法;
第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面,有种取法,
所以满足题意的不同取法共有种.
故答案为：56.
15．答案：(1),,,.
(2).
解析：(1)矩阵A的特征多项式为,
令,解得,,
当时,解得;
当时,解得.
(2)令,得,求得,,
所以
16．答案：(1)极大值为1,极小值为
(2)
解析：（1）当时,,,
令,解得：,,
则x,,变化情况如下表：
的极大值为;极小值为
（2）,,又,;
令,解得：,;
则x,,变化情况如下表：
在,上单调递增,在上单调递减,
,,,
又,,
在上的最大值为,解得：;
.
17．答案：(1)40
(2)
解析：（1）因为当n为奇数时,,当n为偶数时,.
,所以,
.
（2）因为当n为奇数时,,
所以奇数项成公差为2的的等差数列,可得,
因为当n为偶数时,
所以偶数项成公比为2的等比数列,可得,
,,
,
两式相减可得
,
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)（i）;（ii）存在,.
解析：（1）取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示： M为棱PC的中点,
,,,,,,
四边形ABMN是平行四边形,,
又平面PAD,平面PAD, 平面PAD.
（2）,,,,,
平面平面ABCD,平面平面,平面PDC,
平面ABCD,
又AD,平面ABCD,,而,,
以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图：则,,,,
M为棱PC的中点,
,
（i）,,
设平面BDM的一个法向量为,
则,令,则,,,
平面PDM的一个法向量为,
,
根据图形得二面角为钝角,
则二面角的余弦值为.
（ii）假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是,
设,,
则,,
由（2）知平面BDM的一个法向量为,,
点Q到平面BDM的距离是,
, .
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设，，则，，
，两点在双曲线上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，双曲线C的方程为：.
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
，
点P在双曲线C上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
，B分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
，
令，，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，.
20．答案：（1）详见解析
（2）定点R的坐标为，，理由见解析
解析：（1）由题设有，.
设，则，
因为直线以为方向向量，故，
因为直线以为方向向量，故，
当时，，故点D的轨迹过，
当时，由可得，故，
整理得到.
综上，点D的轨迹E的方程，
轨迹E是以为焦点，实轴长为的双曲线.
（2）当时，点D的轨迹方程，故，
由题设可得的斜率不为零，设，，，
又，，
故，，
故以M、N为直径的圆的方程为：，
.
由可得，
，
而，，
故，
故以M、N为直径的圆的方程可化简为：，
其中，
令可得或，
故以M、N为直径的圆过定点R，其坐标为，.
x
-1
0
0
极大值
极小值
x
0
0
极大值
极小值