湖南省常德市汉寿县第一中学2024_2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2024_2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
3．下列区间包含函数零点的为（ ）
A．B．C．D．
4．中，分别为角的对边，，，且（为锐角），则以下正确的有（ ）
A．B．C．D．
5．在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．正三角形
6．已知4个函数:①;②;③;④的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为

A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②
7．已知a＝lg32，那么lg38－2lg36用a表示是（ ）
A．a－2B．5a－2
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2
8．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，
则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值是
C．的最大值为D．的最小值为
10．函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图像的一个对称中心为
D．函数的图像可由图像向右平移个单位得到
11．根据《周髀算经》记载，满足勾股定理的正整数组（a，b，c）称为勾股数组，任意一组勾股数组（a，b，c）都可以表示为如下的形式：，其中，，均为正整数，如图，中，，三边对应的勾股数中，点M在线段EF上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．化简 .
13．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．
14．已知函数，，，，对任意恒有，则函数在上单调增区间 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角．
16．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围及的值．
17．在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性并根据定义证明；
(3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围．
19．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
(1)若边，，的平分线交边于点．求的长；
(2)若为边上任意一点，，．求的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不相同，不是同一函数，故A错误；
对于B：函数的定义域为，
函数的定义域为，
两函数的定义域不相同，不是同一函数，故B错误；
对于C：函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不相同，不是同一函数，故C错误；
对于D：函数的定义域为，且，
函数的定义域为，且，
两函数的定义域相同，解析式一致，所以是同一函数，故D正确.
故选D
2．【答案】C
【详解】由题意作图如下：

由，则，
.
故选C.
3．【答案】C
【解析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】，，
，，
，又为上单调递增连续函数
故选C .
4．【答案】C
【详解】由正弦定理得：，
为锐角，.
故选C.
5．【答案】A
【详解】在中，，
，
即，
，
，
又A，，，
一定是等腰三角形.
故选A
6．【答案】B
【详解】解：①是奇函数，图象关于原点对称；当时，恒成立；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③为非奇非偶函数，图象关于原点和轴不对称，且恒成立；
④是偶函数，图象关于轴对称；
则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②.
即对应函数序号为③②④①.
故选B.
7．【答案】A
【详解】原式＝lg323－2lg32－2lg33＝lg32－2＝a－2．
故选A.
8．【答案】A
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选A.
9．【答案】ACD
【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当时，取等号，所以的最大值为，故正确；
对于B，因为，所以
所以，（当且仅当即时取等号，故等号不取）
，（当且仅当即时取等号，故等号不取），
所以，故错误；
对于C，因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号，故正确；
对于D，，
当且仅当即时，取等号，故正确
故选：ACD
10．【答案】AC
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论．
【详解】由函数的图像可知，最小正周期，则，，A选项正确；
，函数的图像过点，则有，，，B选项错误；
，，函数图像的一个对称中心为，C选项正确；
函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，D选项错误.
故选：AC
11．【答案】BD
【详解】由题意可得，显然，，
所以在直角中，，
若，则，即，
此时，与矛盾，不符合题意；
若，则，即，
此时，符合.
综上所述，，故A错误，B正确；
由，，，，，
所以，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【详解】原式
.
13．【答案】
【详解】令，则，
若，可得，解得或；
若，可得，无解；
综上所述：或，即或，
由题意可知：与、共有3个不同的交点，
作出的图象，如图所示，
显然，可得或，
解得或，所以实数m的取值范围为.
14．【答案】
【解析】根据，，，得到，进而求得，再由对任意恒有，得到，从而求得函数解析式，然后利用正弦函数的性质求解.
【详解】因为函数，，，，
所以，，
又因为对任意恒有，
所以，
所以，
解得，
又因为，
所以，
所以，
令，
解得，
又因为，
所以函数在上单调增区间是
15．【答案】
【详解】由题意得：，从而，
，，设与的夹角为，从而，解得：，所以与的夹角为.
16．【答案】(1)
(2)的取值范围为；
【详解】（1）由图象可知：，最小正周期，，，
，，解得：，
又，，.
（2）由题意知：；
当时，，
令，，，
则与有两个不同的交点，如下图所示，
由图象可知：；
设两根为，则，，解得：，
综上所述：实数的取值范围为；.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，
因为，
由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以；
选②，
因为，
所以，
又，所以；
选③，
因为，
由正弦定理得，即，
则，
则，
又，所以，
因为，所以；
（2）由（1）得，
因为，
所以，
则，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
得，解得，故．
，即是奇函数，所以．
（2）函数为增函数．
证明：设任意实数，
因为，所以，
所以，所以函数为增函数．
（3）由（2）知函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增．
依题意，，即
令，因此是方程的两个根，
即的两个不等的正根，于是解得，
所以的取值范围是．
19．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）
由得，，即，
∴，由得，，
∵，∴
由余弦定理得，，即，得，
∵为的平分线，∴，
∴，
∴，
∴．
（2）
由已知得，，即，
∴，故，
∵，∴，
∵，，∴，即，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为．