湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合 A={x∣x−2>0}, B=x∣x2−2x−3b B. c>a>b C. b>a>c D. a>b>c
二、多选题
9. 已知正数 x,y 满足 2x+y=1 ,则()
A. 1x+4y≥12 B. 8xy≤1
C. xy+1≤14 D. 4x2+y2≥12
10. 在棱长为 1 的正方体 A1B1C1D1−ABCD 中， M 为底面 ABCD 的中心， Q 是棱 A1D1 上一点,且 D1Q=λD1A1,λ∈0,1,N 为线段 AQ 的中点,给出下列命题,其中正确的是 ( )

A. CN 与 QM 是异面直线;
B. 三棱锥 A−DMN 的体积跟 λ 的取值无关；
C. 当 λ=14 时, AM⊥QM ;
D. 当 λ=13 时,过 A,Q,M 三点的平面截正方体所得截面的周长为 42+2133 .
11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，点 P 在 C 的准线上，那么( )
A. 若 PA 与 C 相切，则 PB 也与 C 相切
B. ∠APB≤π2
C. 若点 P 在 x 轴上，则 PA⋅PB 为定值
D. 若点 P 在 x 轴上,且满足 PA=4PB ,则直线 l 的斜率绝对值为 43
三、填空题
12. 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 A=π3,a=3 ，则 b2+c2 的取值范围是_____.
13. 函数 fx=sin2x+12sin4x 的最大值为_____.
14. 从 1,2,⋯,11 中任取三个不同的数,则这三个数可以构成等差数列的概率为_____.
四、解答题
15. 已知函数 fx=x3−2x2+x .
(1)求函数 y=fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)求函数 y=fx 的极值.
16. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD,AD⊥AB,AB//DC , AD=DC=AP=2,AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点. 证明:

(1) BE// 平面 PAD ;
(2)平面 PCD⊥ 平面 PAD ；
(3)求平面 PCD 与平面 PBD 所成角的余弦值
17. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a7=13,S8=64 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=3nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
18. 双曲线 E 经过两点 3,52 和 2305,1 .
(1)求双曲线 E 的标准方程；
(2)过点 −1,−2 的直线交双曲线 E 于 A,B 两点， F1 为左焦点，直线 AF1 交双曲线于另一点 M ， 直线 BF1 交双曲线于另一点 N ,求直线 MN 过定点.
19. 近年来, 全球数字化进程持续加速, 人工智能 (Artificial Intelligence, 简称 AI )已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动, 为了解男女学生参与答题意愿的差异, 用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取 100 人，设事件 A= “学生报名参加答题活动”, B= “学生为男生”,据统计 PA=920,PB∣A=23,PA∣B=35 .
(1)根据已知条件，完成下列 2×2 列联表，并依据小概率值 α=0.005 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联?
(2)网络答题规则:答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定:每轮均设置 mm≥3 道题,选手参与该轮答题,则至少答一道题,一旦答对一题,则其本轮答题结束, 答错则继续答题,直到第 m 道题答完,本轮答题结束. 已知甲同学报名参加答题活动,假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为 13 .
①求甲在一轮答题过程中答题数量 ξ 的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得 2 分，否则得 1 分.记甲答题累计得分为 n 的概率为 Pnn∈N∗ .
(i) 求证: Pn+1−Pn 是等比数列; (ii) 求 Pn 的最大值.
参考公式与数据: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
1. A
集合 A 中 x 的范围是 x>2 ,集合 B 中 x 的范围是 −11 ,所以 a>2 ,
b=lg420=lg44×5=1+lg45>1 ,又 lg45>1 ,所以 b>2 ,
因为 2c=3 ,所以 1b>c .
故选: D.
9. BD
对于选项 A: 1x+4y=1x+4y2x+y=6+8xy+yx≥6+28xy⋅yx=6+42 , 当且仅当 8xy=yx ,即 x=2−12,y=2−2 时取等号,故选项 A 错误;
对于选项 B: 因为 2x+y=1≥22x⋅y ,则 8xy≤1 ,
当且仅当 2x=y ,即 x=14,y=12 时取等号,故选项 B 正确;
对于选项 C: 因为 xy+1=12⋅2xy+1≤12⋅2x+y+122=12 ,
当且仅当 2x=y+1 ,即 x=12,y=0 时取等号,这与 x,y 均为正数矛盾,
故 xy+1QM2 ,所以 AM⊥QM 不成立,所以 C 不正确;


当 λ=13 时,在 C1D1 上取点 E ,使 D1E=13D1C1 ,连接 QE,CE ,
根据正方体的性质可知, QE//AC ,故过 A,Q,M 三点的平面截正方体所得截面为 ACEQ ,
由 AQ=CE 知截面 ACEQ 是等腰梯形,

所以平面截正方体所得截面的周长为
l=AC+QE+2AQ=2+23+2×1+49=42+2133,
所以 D 正确.
故选: BD
11. ABD
依题意,不妨设点 A 在第一象限,
抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F1,0 ,准线方程为 x=−1 ,
对于 A: 设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
依题意可得过 A,B 两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过 Ax1,y1 的抛物线的切线方程为: x−x1=my−y1 ,
即 x=my+x1−my1 ,
由 x=my+x1−my1y2=4x ,有 y2−4my−4x1+4my1=0 ,
所以 Δ=16m2+16x1−16my1=0 ,
又 y12=4x1 ,整理得 m2−my1+y124=0 ,解得 m=y12 ,
所以过 Ax1,y1 的抛物线的切线方程为: x−x1=y12y−y1 ,整理得 y=2x+x1y1 , 同理可得过 Bx2,y2 的抛物线的切线方程为: y=2x+x2y2 ,
设两切线的交点为 Qx0,y0 ,由 y=2x+x1y1y=2x+x2y2 ,
可得 x0=y2x1−x2y1y1−y2=4y2x1−4x2y14y1−y2=y2y12−y1y224y1−y2=y1y24 ,
设直线 AB 的方程为: x=ty+1t≠0 ,由 x=ty+1y2=4x 有 y2−4ty−4=0 ,
所以 y1y2=−4,y1+y2=4t ,则 x1x2=ty1+1ty2+1=t2y1y2+ty1+y2+1=1 , 所以 x0=−1 ,
即两切线的交点 Q 在抛物线的准线上,
所以若 PA 与 C 相切,则 PB 也与 C 相切,故 A 正确;
对于 B : 设 AB 的中点为 D ,由 y1+y2=4t ,则 x1+x2=ty1+ty2+2=4t2+2 ,则 xD=x1+x22=2t2+1,
又 AB=x1+x2+2=4t2+4 ,所以 D 到准线的距离 d=xD−−1=2t2+2=AB2 , 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切, 又点 P 在 C 的准线上,所以 ∠APB≤π2 ,故 B 正确;

对于 C : 依题意可得 P−1,0 ,所以 PA=x1+1,y1,PB=x2+1,y2 , 所以 PA⋅PB=x1+1x2+1+y1y2=x1x2+x1+x2+1+y1y2 =1+4t2+2+1−4=4t2 ,显然 PA⋅PB 不是定值,故 C 错误;

对于 D : 因为 kPA+kPB=y1x1+1+y2x2+1=4y1y12+4+4y2y22+4
=4y1y22+4+4y2y12+4y12+4y22+4
=4y1y2y1+y2+4y1+y2y12+4y22+4=4−4y1+y2+4y1+y2y12+4y22+4=0,
所以 x 轴为 ∠APB 的平分线,
根据角平分线定理可得 AFBF=APBP=4 ,
设直线 l 的倾斜角为 θ0