湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知、是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．已知，那么函数有（ ）
A．最大值2B．最小值2C．最小值4D．最大值4
4．已知为偶函数且，则等于（ ）
A．0B．4C．8D．16
5．的展开式中，x7的系数为（ ）
A．5B．7C．10D．15
6．已知圆的方程圆心坐标为，则圆的半径为（ ）
A．2B．4C．10D．3
7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件B相互独立
C．D．
8．已知：偶函数定义域为且上有.，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ）
A．从高二年级抽取30人
B．被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D．估计全体学生每天的读书时间的方差为
10．下列说法正确的是（ ）
A．与为同一函数
B．已知为非零实数，且，则恒成立
C．若等式的左、右两边都有意义，则恒成立
D．函数有且仅有一个零点，在区间内
11．在棱长为1的正方体ABCD-中，点P满足，
∈[0，1]， ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）
A．当=时，BP∥平面
B．当=时，存在点P使得DP与直线的夹角为
C．当+=1时，存在点P使得P与平面AB所成的角为
D．当+=1时，CP长度的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
12．若,且，则 ．
13．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若则
14．已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则的大小关系为 （由小到大顺序表示）

四、解答题
15．（14分）已知直线，，圆以直线的交点为圆心，且过点
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相切，求的值；
(3)求圆上的点到直线的距离的最大值．
16．（14分）已知三个顶点是，，
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程：
(2)求点A到BC边所在直线的距离及的面积.
17．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，．
(1)求证：CE⊥PD；
(2)若PA＝，AB＝，AD＝，且，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小．
18．（14分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．
(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.
19．（18分）定义1 进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．
定义2 三角形数：形如，即的数叫做三角形数．
(1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；
(2)若是完全平方数，求的值；
(3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，．
参考答案：
1．D
【解析】解不等式确定集合B，然后由交集定义计算．
【详解】由，得，解得，所以，
又，所以.
故选：D
2．C
【分析】根据线面垂直与平行的判定，结合面面平行垂直的性质与判定逐个选项判断即可.
【详解】A项：因为，，所以，因为，所以，A正确；
B项：由，，根据线面垂直的性质能推出，B正确；
C项：n有可能在平面内，C错误；
D项：由垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，D正确.
故选：C
3．B
【分析】利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
函数的最小值2，
故选：B.
4．D
【分析】利用奇偶函数的对称性并依据积分运算规则去求即可解决
【详解】令，则
则为奇函数，则
又为偶函数且，则
则
故选：D
5．D
【分析】将原式化简，再根据二项定理的展开项通项公式确定x7的系数.
【详解】因为=，
所以展开式的通项公式为，
当时，，，
则，x7的系数为15.
故选：D
6．B
【分析】先根据圆心坐标求出的值，再求圆的半径.
【详解】化简得
由题得，所以圆的半径为，所以
故选：B
7．D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得，所以A错误；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
8．B
【分析】由已知条件得函数在上单调递增，在上单调递减，且，由此可得选项.
【详解】由偶函数对任意的上有，所以函数在上单调递增，
又由于偶函数的图象关于y轴对称，所以函数在上单调递减，
因为，所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性综合运用，求解不等式的问题，属于中档题.
9．ACD
【分析】根据分层抽样、平均数、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；
对B，抽取的高二年级每天的总读书时间为，
抽取的高一年级每天的总读书时间为，
高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；
对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确；
对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为：
，
∴估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确.
故选：ACD
10．ABC
【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.
【详解】对于A，因为函数与的定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；
对于B，因为a，b为非零实数，且，
所以，故选项B成立；
对于C，因为
，故选项C正确；
对于D，因为函数的零点个数等价于
与图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，
所以函数有两个零点，故选项D错误，
故选：ABC.
11．ABD
【分析】对于A：先判断出P的轨迹为线段.利用平面∥平面,证明出BP∥平面；
对于B：先判断出P的轨迹为线段EF,再判断出DP与直线的夹角即为DP与直线的夹角，根据角的范围进行判断；
对于C: 先判断出P的轨迹为线段.由面AB，即可判断结论；
对于D: 先判断出P的轨迹为线段，求出CP的长度最小值.
【详解】
对于A：当时,因为，由向量的加法可知，P的轨迹为线段.如图(1)所示,由正方体的结构特征,可知平面∥平面,而平面，所以BP∥平面.故A正确；
对于B：当时,如图(1),点P的轨迹为线段EF,因为直线∥直线，所以DP与直线的夹角即为DP与直线的夹角
当P与E重合时,DP与直线所成角最大,即DP与直线所成角最大,最大为.最小为0，故存在点P使得DP与直线的夹角为.故B正确；
对于C: 当时,因为，所以三点共线，即 P的轨迹为线段.如图(2).
在正方体ABCD-中，对于平面AB，面AB，故不存在点P使得与平面AB所成的角为.故C错误；
对于D: 当时,如图(2),P的轨迹为线段.当P为的中点时，CP的长度最小.此时，故D正确.
故选：ABD
【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
12．/
【分析】由，可得，从而可求出，则可得的解析式，进而可求出.
【详解】因为,且，
所以，即
所以，
因为，所以解得，
所以，
所以
故答案为：.
13．60
【分析】利用化简得出，即可得出结果.
【详解】由于，则
，
因此，.
故答案为：60.
14．
【分析】结合函数的图象以及导数的几何意义判断集合.
【详解】由函数的图象可知函数单调递增，但是增长速度越来越慢，
表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率，
表示和两点连线的斜率，
所以，
即.
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先联立直线得到圆心坐标，利用两点之间距离公式得到半径，再写出圆的方程即可；
（2）根据题意得到.再解方程即可；
（3）首先利用圆心到直线的距离再加上半径求解即可.
【详解】（1）联立直线，即.
圆的半径，
所以圆的方程为：.
（2）因为直线与圆相切，
到直线的距离，
解得.
（3）到直线的距离，
所以圆上点到直线距离的最大值为.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）先利用坐标求解，利用垂直关系求得BC边上的垂直平分线的斜率为：，再求解BC的中点D的坐标，即得解；
（2）利用点到直线距离公式求解点A到BC边所在直线的距离，即为的高，的底边长为，求解即可
【详解】（1）∵，，∴，
则BC边上的垂直平分线的斜率为：
又BC的中点D的坐标为，
所以BC边的中垂线所在的直线方程为：，即为
（2）直线BC的方程为：，即
则点到直线的距离为：
，
故面积为
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面垂直的性质与判定定理可得BA⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质即可证明；
(2)根据题意建立如图空间直接坐标系，利用空间向量法求出平面PCE的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求出二面角.
【详解】（1）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴．
∵，AD、平面PAD且，
∴BA⊥平面PAD．∵，∴CE⊥平面PAD．
又平面PAD，∴；
（2）∵，
又，，
∴，．
以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，连结PE．
A（0,0,0），B（2,0,0），E（0,1,0），P（0,0,1），C（2,1,0），
则，，
由题意知平面PAB的一个法向量为，
设平面PCE的法向量为，由，，
得，取，则．
设所求二面角为，，
则，所以.
18．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.
（2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.
【详解】（1）可能的取值为0，1，2，3，
，，，，
概率分布列为：
（2）设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，
则，
由条件概率公式可得，
所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据9进制的概念，先计算，然后把因数分解成的形式，观察可得的值.
（2）先计算，利用，分为偶数和奇数讨论求的值.
（3）先求利用等比数列的求和公式求，结合二项式定理证明不等式.
【详解】（1），
当时，就是一个三角形数．
（2），
，即．
若是偶数，则和是两个连续正整数，所以上式不成立，得是奇数．
所以．
解得，即．
（3）由题意可知：，且，
则
．
．
【点睛】关键点点睛：是完全平方数，写明确，构造不等式，即，然后分为偶数和奇数讨论求值.
0
1
2
3