湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设 z=2+i1+i2+i5 ,则 z= ( )
A. 1−2i B. 1+2i C. 2−i D. 2+i
2. 设函数 fx=x+ax2 在区间 1,2 上单调递减，则 a 的最大值是( )
A. -3 B. -2
C. −32 D. 3
3. 已知数列 an 的首项 a1=2025 ,前 n 项和 Sn ,满足 Sn=n2an ,则 a2024= ( )
A. 12025 B. 12024 C. 11012 D. 11013
4. 在 △ABC 中, AB=5,AC=8,N 为 BC 的中点,且 △ABC 外接圆的圆心为 M ,则 AM⋅AN= ( )
A. 11 B. 14
C. 352 D. 894
5. 已知四面体 PABC 的各顶点均在球 O 的球面上， PA⊥ 平面 ABC,PA=3,AB⊥BC ， 三角形 ABC 的外接圆半径是 3 ，则球 O 的表面积为( )
A. 28π3 B. 18π C. 21π
D. 83π3
6. 已知动点 P 在直线 l:x−y−1=0 上，点 O 是坐标原点，点 Q 是圆 x−32+y+12=1 上的动点,则 PQ−PO 的最大值为 ( )
A. 2 B. 52 C. 3 D. 4
7. 已知点 P 是椭圆 x22+y2=1 上的动点,直线 l:x+3y+45=0 ,则动点 P 到直线 l 的最小距离是( )
A. 5
B. 352
C. 25
D. 552
8. 定义在 R 上的函数 fx ,对任意实数 x 都有 f−x−f3−x=0,f2024=1e . 若 fx+f′x>0 ，则不等式 fx+1>1ex 的解集是( )
A. 3,+∞ B. −∞,3 C. 1,+∞ D. −∞,1
二、多项选择题:本题共 3 小题, 共 18 分每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. a2+b22≥a+b2 ; B. 若 a>b ,则 1abc2 ,则 a>b ; D. 若 a>b ,则 ac2>bc2 .
10. 已知函数 fx=4sinxcsx−π6 ，则( )
A. fx≤3
B. fx 的图象关于点 π12,0 中心对称
C. fx 在区间 π2,3π4 单调递减 D. fx 在 0,π 有 3 个零点
11. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,M 为 C 上一动点， E3,1 为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线 l 的方程是 x=−2
B. ME+MF 的最小值为 4
C. A,B 为抛物线上的两点,点 E 为线段 AB 的中点,则 AB 所在的直线方程为 y=12x−5
D. 以线段 MF 为直径的圆与 y 轴相切
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填写在答题卡 相应位置上.
12. 已知函数 fx=13x3−ax2+3 在点 1,f1 处的切线与直线 x−y+3=0 垂直. 则 a 的值为_____.
13. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 1, P 为空间中一点,则 PB+PC+PD⋅PA 的最小值为_____.
14. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,以 F2 为圆心作与 C 的渐近线相切的圆,该圆与 C 的一个交点为 P ,若 △F1PF2 为等腰三角形,则 C 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在锐角 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 1+tanBtanC=2ac .
(1)求角 B 的大小；
(2)求 sinA+sinC 的取值范围.
16. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和， bn 为数列 Sn 的前 n 项积,已知 2Sn+1bn=2 .
(1)证明:数列 bn 是等差数列；
(2)求 an 的通项公式.
17. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB⊥AC,AC=4,AB=AA1=4,E,F 分别是 BC,A1B 的中点.

(1)证明:直线 EF// 平面 AA1C1C ；
(2)求平面 ABC 与平面 EFC1 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22,F1,F2 分别为椭圆的左右焦点,过 F1 的直线交 E 于 A,P 两点,点 P 在第一象限, M 为 AP 中点, PF2 交 E 于点 B,ΔPF1F2 的周长为 2+22 .

(1)求 E 的方程；
(2)求证:直线 AP 与 OM 的斜率乘积为 −12 ；
(3)若分别记 OP,AB 的斜率为 k1,k2 ，求 1k2−1k1 的最大值.
19. 已知函数 fx=x2−ax,gx=lnx .
(1) 当 a=1 时,求证: fx≥x⋅gx ;
(2)设 rx=fx+g1+ax2 ，若对任意的 a∈1,2 ，总存在 x0∈12,1 ，使不等式 rx0>k1−a2 成立,求实数 k 的取值范围.
1. B
由题意可得 z=2+i1+i2+i5=2+i1−1+i=i2+ii2=2i−1−1=1−2i ,
则 z=1+2i .
故选: B.
2. A
因为 fx=x+ax2 ,所以 f′x=x3x+2a ,
因为函数 fx 在区间 1,2 上是减函数,
所以 f′x=x3x+2a≤0 在 1,2 上恒成立,即 3x+2a≤0 在 1,2 上恒成立,
所以 a≤−32x 在 1,2 上恒成立,因为 x∈1,2 时, −31ex ,即为 ex+1fx+1>e ,即 gx+1>g2 ,
又因为 gx 在 R 上单调递增,所以 x+1>2 ,解得 x>1 , 所以不等式 fx+1>1ex 的解集为 1,+∞ .
9. AC
因为 a2+b22−a+b22=a2+b2−2ab4=a−b24=a−b22≥0 ,当且仅当 a=b 时等号成立,
所以 a2+b22≥a+b22 ,所以 a2+b22≥a+b22=a+b2≥a+b2 ,故 A 正确;
当 a=1,b=−2 ,满足 a>b ,但 1a>0>1b ,故 B 错误;
若 ac2>bc2 ,则 c2>0 ,则 ac2×c2>bc2×c2 即 a>b ,故 C 正确;
当 c=0 时, ac2=bc2=0 ,故 D 错误.
故选: AC
10. ACD
fx=4sinx32csx+12sinx=23sinxcsx+2sin2x=3sin2x+1−cs2x =2sin2x−π6+1 ,
对于 A,fx∈−1,3 ,所以 fx≤3 ,故 A 正确;
对于 B,fπ12=2sinπ6−π6+1=1 ,所以 fx 的图象关于点 π12,1 中心对称,故 B 错误;
对于 C ,当 x∈π2,3π4 时, 2x−π6∈5π6,4π3⊆π2,3π2 ,
所以 fx 在区间 π2,3π4 单调递减,故 C 正确;
对于 D ,令 fx=2sin2x−π6+1=0 ,
当 x∈0,π 时, 2x−π6∈−π6,11π6 ,
所以当 2x−π6=−π6,7π6,11π6 ,即 x=0,2π3,π 时, fx=0 ,
所以 fx 在 0,π 有 3 个零点,故 D 正确;
故选: ACD.
11. BD
A. 抛物线 C:y2=4x ,其准线方程为 x=−1 ,故 A 错误;
B. 如图所示，过点 M 作 MA⊥ 准线于点 A ，则 MA=MF ，所以 ME+MF=ME+MA ， 当且仅当 E,M,A 共线时,(即图中 A′,M′,E ) ME+MF 最小,最小值为 E3,1 到准线 x=−1 的距离 4 ，故 B 正确；

C. 设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
则 y12=4x1y22=4x2 ,两式相减得 y12−y22=y1+y2y1−y2=4x1−x2 ,
则 2×y1−y2x1−x2=4 ,得 y1−y2x1−x2=2 ,即直线 AB 的斜率为 2,
所以直线 AB 的方程为 y−1=2x−3 ,即 y=2x−5 ,故 C 错误;
D. 设 Mx,y,F1,0 ,则 MF=x+1 ,且 MF 的中点坐标为 x+12,y2 ,中点到 y 轴的距离为 x+12=MF2 ,所以以线段 MF 为直径的圆与 y 轴相切,故 D 正确.
故选: BD
12. 1
f′x=x2−2ax,f′1=1−2a ,
依题意得 1−2a=−1 ,解得 a=1 .
故答案为: 1 .
13. −12
如图,将正四面体 ABCD 补全为正方体,则正方体的棱长为 22 ,
如图, 以正方体的一个顶点 O 为原点建立空间直角坐标系,
则 A0,0,22,B22,0,0,C0,22,0,D22,22,22 ,
设 Px,y,z ,
则 PA=−x,−y,22−z,PB=22−x,−y,−z ,
PC=−x,22−y,−z,PD=22−x,22−y,22−z,
故 PB+PC+PD=2−3x,2−3y,22−3z ,
则 PB+PC+PD⋅PA=2−3x−x+2−3y−y+22−3z22−z
=3x−262+3y−262+3z−232−12≥−12 ,
当且仅当 x=y=26,z=23 时取等号,
当点 P 的坐标为 26,26,23 时, PB+PC+PD⋅PA 取最小值为 −12 .

14. 53
双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的半焦距为 c ,渐近线方程为 bx±ay=0 , 点 F2c,0 到渐近线距离为 PF2=bca2+b2=b ,由双曲线定义得 PF1=2a+b , 由 △F1PF2 为等腰三角形,得 F1F2=PF1 ,即 2c=2a+b ,因此 4c−a2=b2=c2−a2 , 则 c=53a ,所以 C 的离心率为 e=ca=53 .
故答案为: 53

15. 1B=π3
(2) 32,3
(1) 在 △ABC 中,因为 B+C=π−A ,所以 sinB+C=sinA , 由已知可得: 1+tanBtanC=1+sinBcsCcsBsinC=csBsinC+sinBcsCcsBsinC=sinB+CcsBsinC=sinAcsBsinC ,
再由正弦定理可得: ac=sinAsinC ，因此原等式变形为: sinAcsBsinC=2sinAsinC ，
因为 △ABC 中, sinA≠0,sinC≠0 ,约去后可得: csB=12 ,
又 B 是锐角三角形内角,故 B=π3 ;
(2)由 B=π3 可得: A+C=2π3 ，即 C=2π3−A ，
代入得:
sinA+sinC=sinA+sin2π3−A=sinA+32csA+12sinA=32sinA+32csA=3sinA+π6
又因为 △ABC 是锐角三角形,所以 C=2π3−Aπ2⇒Aπ6 ,则 A∈π6,π2 ,即
A+π6∈π3,2π3
因为 sinx 在 π3,2π3 上的取值范围是 32,1 ,所以 3sinA+π6∈32,3 , 即 sinA+sinC 的取值范围为 32,3 .
16.(1)[方法一]:
由已知 2Sn+1bn=2 得 Sn=2bn2bn−1 ,且 bn≠0,bn≠12 ,
取 n=1 ,由 S1=b1 得 b1=32 ,
由于 bn 为数列 Sn 的前 n 项积,
所以 2b12b1−1⋅2b22b2−1⋯2bn2bn−1=bn ,
所以 2b12b1−1⋅2b22b2−1⋯2bn+12bn+1−1=bn+1 ,
所以 2bn+12bn+1−1=bn+1bn ,
由于 bn+1≠0
所以 22bn+1−1=1bn ,即 bn+1−bn=12 ,其中 n∈N∗
所以数列 bn 是以 b1=32 为首项,以 d=12 为公差等差数列;
[方法二]
由已知条件知 bn=S1⋅S2⋅S3⋯⋯Sn−1⋅Sn
于是 bn−1=S1⋅S2⋅S3⋯⋯Sn−1n≥2 .②
由①②得 bnbn−1=Sn .③
又 2Sn+1bn=2 ,④
由③④得 bn−bn−1=12 .
令 n=1 ,由 S1=b1 ,得 b1=32 .
所以数列 bn 是以 32 为首项, 12 为公差的等差数列.
[方法三]:
由 2Sn+1bn=2 ,得 bn=Sn2Sn−2 ,且 Sn≠0,bn≠0,Sn≠1 .
又因为 bn=Sn⋅Sn−1⋯⋯S1=Sn⋅bn−1 ,所以 bn−1=bnSn=12Sn−2 ,所以
bn−bn−1=Sn2Sn−2−12Sn−2=Sn−12Sn−1=12n≥2 .
在 2Sn+1bn=2 中,当 n=1 时, b1=S1=32 .
故数列 bn 是以 32 为首项, 12 为公差的等差数列.
[方法四]: 数学归纳法
由已知 2Sn+1bn=2 ,得 Sn=2bn2bn−1,b1=32,b2=2,b3=52 ,猜想数列 bn 是以 32 为首项,
12 为公差的等差数列,且 bn=12n+1 .
下面用数学归纳法证明.
当 n=1 时显然成立.
假设当 n=k 时成立,即 bk=12k+1,Sk=k+2k+1 .
那么当 n=k+1 时, bk+1=bkSk+1=12k+1⋅k+3k+2=k+32=12k+1+1 .
综上,猜想对任意的 n∈N 都成立.
即数列 bn 是以 32 为首项, 12 为公差的等差数列.
(2)
由(1)可得，数列 bn 是以 b1=32 为首项，以 d=12 为公差的等差数列，
∴bn=32+n−1×12=1+n2 ,
Sn=2bn2bn−1=2+n1+n,
当 n=1 时, a1=S1=32 ,
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=2+n1+n−1+nn=−1nn+1 ,显然对于 n=1 不成立,
∴an=32,n=1−1nn+1,n≥2 .
17.(1)如图,连接 A1C ,

因为 E,F 分别是 BC,A1B 的中点,则 EF//A1C ,
且 EF⊄ 平面 AA1C1C,A1C⊂ 平面 AA1C1C ,
所以直线 EF// 平面 AA1C1C .
(2)在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AA1⊥ 平面 ABC ， AB,AC⊂ 平面 ABC ，
则 AA1⊥AB,AA1⊥AC ,且 AB⊥AC ,即 AB,AC,AA1 两两垂直，
故以 A 为原点， AB ， AC ， AA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为 AC=4 ， AB=AA1=4 ，
则 B4,0,0 ， C0,4,0 ， A10,0,4 ， C10,4,4 ，
且 E,F 分别是 BC,A1B 的中点,得 E2,2,0,F2,0,2 .
所以 EF=0,−2,2,EC1=−2,2,4 ,
易知平面 ABC 的一个法向量为 n=0,0,1 ，
设平面 EFC1 的法向量为 m=x,y,z ,
则 m⋅EF=0m⋅EC1=0 ,即 −2y+2z=0−2x+2y+4z=0 ,取 m=3,1,1 ,
设平面 ABC 与平面 EFC1 的夹角为 θ ，
csθ=cs⟨n,m⟩=n⋅mnm=11×32+12+12=1111,
所以平面 ABC 与平面 EFC1 夹角的余弦值为 1111 .
18.(1)根据椭圆的定义可知 PF1+PF2=2a ，
根据题意可得 ca=222a+2c=2+22b2=a2−c2 ,解得 a=2,c=1,b=1 ,
所以椭圆的方程为 x22+y2=1
( 2 )证明:设 Px1,y1 ， Ax2,y2 ，因为 M 为 AP 中点，所以 Mx1+x22,y1+y22 ， 根据题意直线 AP 与 OM 的斜率都存在,
所以直线 AP 与 OM 的斜率乘积为 y2−y1x2−x1×y1+y22x1+x22=y2−y1x2−x1×y1+y2x1+x2=y22−y12x22−x12 ,
因为 P,A 在椭圆上,所以 x122+y12=1,x222+y22=1 ,两式相减可得 x122−x222+y12−y22=0 ,
化简得 12x12−x22=y22−y12 ,可得 y22−y12x22−x12=−12
因此直线 AP 与 OM 的斜率乘积为 −12 .
(3)设 Px1,y1,Ax2,y2,Bx3,y3 ，由( 1 )可知 F1−1,0,F21,0 ，
因为点 P 在椭圆上,所以 x122+y12=1⇔x12+2y12=2 ,
由题意 PA:y=y1x1+1x+1,PB:y=y1x1−1x−1 ,
故将直线 PA 与椭圆 E 联立 y=y1x1+1x+1x2+2y2=2 ,可得 x2+2y1x1+1x+12=2 ,
整理可得: 2x1+3x2+4y12x−3x12−4x1=0 ,所以 x1x2=−3x12+4x12x1+3 ,
即 x2=−3x1+42x1+3,y2=−y12x1+3 ,即 A−3x1+42x1+3,−y12x1+3 ,
同理,将直线 PB 与椭圆 E 联立 y=y1x1−1x−1x2+2y2=2 ,可得 x2+2y1x1−1x−12=2 ,
整理可得: −2x1+3x2−4y12x−3x12+4x1=0 ,所以 x1x3=−3x12+4x1−2x1+3 ,
即 x3=−3x1+4−2x1+3,y3=y12x1−3 ,即 B3x1−42x1−3,y12x1−3 ,
所以 OP,AB 的斜率为 k1=y1x1,k2=y12x1−3+y12x1+33x1−42x1−3+3x1+42x1+3=4x1y112x12−24=x1y13x12−2 ,
故 1k2−1k1=3x12−2x1y1−x1y1=2x12−6x1y1=2x12−3x12+2y12x1y1=−x12+6y12x1y1 ,
因为点 P 在第一象限内,故 y1x1>0,1k2−1k1=−x1y1+6y1x1≤−26 ,
1k2−1k1 的最大值为 −26 ,当且仅当在 P62,12 处取到等号.
19. (1) 要证 fx≥x⋅gx ,只需证 x−1≥lnx ,
令 hx=x−1−lnx,x∈0,+∞,h′x=1−1x=x−1x ,
由 x∈0,1,h′x0 ,
hx 在区间 0,1 上单调递减,在区间 1,+∞ 上单调递增,
∴hx≥h1=0 ,即 x−1−lnx≥0,∴fx≥x⋅gx .
(2)由题意得 rx=x2−ax+ln1+ax2, r′x=2x−a+a1+ax=2axx−a2−22a1+ax , ∵a2−22a=a2−1a0 ,
∴rx 在区间 12,+∞ 上为增函数,
∴x0∈12,1 时, rx0max=r1=1−a+ln1+a2 ,
∴1−a+ln1+a2>k1−a2 ,
设 φa=1−a+ln1+a2+ka2−1a∈1,2,φ1=0 ,有 φa>0 在 a∈1,2 时恒成立, ∵φ′a=a1+a2ka−1−2k ,
① k=0 时， ∵φ′a=−a1+a ，显然 φ′a