湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（共有8题，每题5分，共40分，每小题只有一项正确答案．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集.
【详解】由函数定义域可得：，
由值域可得，故.
故选：D
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.
【详解】命题“，”的否定为:“，”.
故选:D.
3. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.
【详解】由对任意，都有成立可得，
在上单调递减，
所以 ，解得，
故选:C.
4. “函数在上是严格增函数”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.
【详解】函数的对称轴是，
若函数在上是严格增函数，则，
所以“函数在上是严格增函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.
【详解】由得：或，因函数，由解得，
因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，
观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先利用已知条件判断函数在R上的单调性，再解不等式.
详解：由于是定义在上的奇函数，
∴，且在上为增函数，
∴f(x)是R上的增函数，
∵f(1)=3,
所以
∴2x-1＜1，
∴x＜1.
故选A.
点睛：解抽象的函数不等式，一般先要判断函数的单调性，再把不等式化成的形式，再利用函数的单调性去掉“f”，转化为具体的函数不等式解答.
7. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】，，即，
，
下面比较与的大小，构造函数与，
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，

当时，；当时，
由，故，故，即，
所以，
故选：A
8. 已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性与单调性约束的范围，然后进行验证即可得到结果.
【详解】由题意得，，得，得，
又因为在区间内单调，
所以，得，得.所以.
又因为，所以或3.
当时，，得，又，
所以，此时直线的函数的图象的一条对称轴，
且在区间内单调.所以.
当时，，得，又，所以，
此时，
所以直线不是函数的图象的一条对称轴.
所以，.
故选：A
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分．每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得得2分，有错选的得0分．）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.
【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正确；
由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确；
故选：ACD
10. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数是偶函数
B. 方程有两个实数根
C. 函数在上单调递增，在上单调递增
D. 函数有最大值0，无最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数值的大小关系得到函数解析式，画出函数图像，根据图像依次判断每个选项得到答案.
【详解】当，即时，解得；
当，即时，解得；
故，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数为偶函数，A正确；方程有两个实数根，B正确；
函数上单调递减，在上单调递增，C错误；
函数有最大值0，无最小值，D正确.
故选：ABD.
11. 已知θ，且sinθ+csθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ）
A. ﹣3B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先由已知条件判断，，得到，对照四个选项得到正确答案.
【详解】∵sinθ+csθ＝a，其中a∈（0，1），
∴两边平方得：1+2，∴，
∵，∴可得，，
∴，
又sinθ+csθ＝a，所以csθ＞﹣sinθ，所以
所以，
所以tanθ的值可能是，．
故选：CD
【点睛】关键点点睛：求出的取值范围是本题解题关键．
12. 已知函数的定义域为R且具有下列性质：
①是奇函数；
②；
③当，，函数．
下列结论正确的是（ ）
A. 3是函数周期
B. 函数在上单调递增
C. 函数与函数的图像的交点有8个
D. 函数与函数的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数
【答案】BC
【解析】
【分析】结合①②条件可得函数周期为6，故错误；作出函数、图像即可判断、；考虑和两种情况，数形结合即可判断．
【详解】解：对A：因为，所以令，可得，
即，故，
则，即，
因为为奇函数，所以，则，
所以，即函数的周期为6，故A错误；
对B、C：令，则，则，又因为函数为奇函数，故，
再根据其周期为6，分别作出函数与的图像如下：
数形结合，可得函数在上单调递增，且两函数图像共有8个交点，故B、C正确；
对D：作出函数在的图像如下：
若函数与函数的图像在区间的交点有5个，
由图可得实数或，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. __________．
【答案】9
【解析】
【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.
【详解】原式
故答案为：9
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式、平方关系、二倍角公式求解.
【详解】，
所以，，
所以，
故答案为：.
15. 已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由换元法求出的解析式，再解原不等式
【详解】由题意得为正常数，令，则，
且，解得，
原不等式为，可得，解得，
故答案为：
16. 下列命题正确的是__________．（写出所有正确的命题的序号）
①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；
②如，则；
③函数是奇函数；
④存在唯一的实数使为奇函数．
【答案】①③
【解析】
【详解】逐一考查所给的命题：
函数为奇函数，则，
函数的周期为，则，
据此有：，
则对函数上任意一点，可知点也在函数图像上，
即函数的图象关于对称，说法①正确；
若，则，据此可知，
指数函数是上的单调递减函数，
则，说法②错误；
函数有意义，则：，解得：，
函数的定义域关于坐标原点对称，
且，
即函数是奇函数，说法③正确；
函数为奇函数，需满足：恒成立，
即：恒成立，
则：，
经检验时，函数为奇函数，说法④错误.
综上可得：所给的命题中，正确的是①③.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知偶函数，为奇函数，且.
（1）求，的解析式；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；
（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解：因为为偶函数，为奇函数，且有，
所以，
所以，，解得，.
所以，，.
【小问2详解】
解：因为，当且仅当时等号成立，
所以.
所以，对任意的，恒成立，即，
则，即，解得，
所以，的取值范围.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分别求出集合后可求得，
（2）分类讨论求出集合，再根据题意得AB转化为不等式求解即可
【小问1详解】
因为，所以，
所以．
当时，或，，
所以．
【小问2详解】
若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则AB
由题意得
①当，即a＝－时，B＝，满足AB；
②当，即时，，
由AB得：或，解得：或（舍去）
综上：；
③当，即时，，
由AB，得或，解得：（舍）或，所以．
综上可得：即
所以的取值范围为：.
19. 设函数，其中.
（1）若，求函数在区间上的值域；
（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解；
（2）将问题转化为，再利用二次函数的性质得在上的最大值为或，从而得解；
【小问1详解】
当时，则，，
由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1；
当时，的最大值为10；
所以在区间值域的为.
【小问2详解】
“对任意的，都有”等价于“在区间上”.
由（1）知时，，
由二次函数的性质知函数的图象开口向上，
所以在上的最大值为或，
则，即，解得，
故实数的取值范围为区间.
20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）4千克，480元
【解析】
【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案；
（2）结合二次函数的最值以及基本不等式求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得
；
【小问2详解】
当时，，
则当时，取到最大值；
当时，
，
当且仅当，即时取等号，
由于，
故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)和；(2)或.
【解析】
【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为，又，故的单调递增区间为和.
（2）由题意可知，由函数的定义域可知的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令，则，原问题等价于在上仅有一个实根.据此讨论可得或.
详解：（1）∵


，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
（2）将的图象向左平移个单位后，得，
又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22. 设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.
（1）若，求函数的准不动点；
（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，当时，可得，可解得函数的准不动点；
（2）先根据对数的性质可得在内恒成立，即在内恒成立，可得；再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点，分析求解即可．
【小问1详解】
若时，则，
因为在内均单调递增，则在内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
【小问2详解】
因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为．