2025-2026学年湖南省岳阳市颐华高级中学（平江）高二上学期入学考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省岳阳市颐华高级中学（平江）高二上学期入学考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2−i20251−i，则z的虚部为( )
A. 12B. 12iC. 32D. 32i
2.已知函数f(x)=xln2+x2−x，则不等式f(x+1)>f(2x−1)的解集为( )
A. (0,1)B. (0,2)C. −12,0D. (−1,2)
3.已知tanθ=3，则csθ+π2cs2θ 2sinθ−π4=( )
A. 65B. −35C. −65D. 35
4.已知向量a,b满足，a+b= 3,a−b=2a+b，则b=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
5.已知▵ABC的面积等于1，且BC=1，则▵ABC的外接圆的半径R的最小值为( )
A. 1617B. 1716C. 178D. 817
6.若4,2,1,4,5的第p百分位数是4,则p的取值范围是( )
A. (40,80]B. [40,80)C. [40,80]D. (40,80)
7.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球至少有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是( )
A. P(A+B)=P(A)+P(B)B. P(C)+P(D)=1
C. P(C∪E)=1D. P(B)=P(C)
8.在锐角▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为▵ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc的取值范围为( )
A. 4315,5915B. 2 2,4315C. 2 2,5915D. 2 2,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若x>2，则函数y=x+1x−1的最小值为3
B. 若x>0,y>0,3x+1y=5，则3x+4y的最小值为5
C. 若x>0，则xx2+1的最大值为12
D. 若x>0,y>0,x+y+xy=3，则xy的最小值为1
10.已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 当ω=3时，f(x)在4π9,7π9上单调递增
B. 若fx1−fx2=2，且x1−x2min=π2，则函数f(x)的最小正周期为π
C. 若f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为3
D. 若f(x)在0,2π上恰有4个零点，则ω的取值范围为2312,2912
11.已知点M为▵ABC所在平面内一点，则( )
A. 若AM=13AB+23AC，则BC=3BM
B. 若ABAB+ACAC⋅BC=0，且ABAB⋅ACAC=12，则▵ABC为等边三角形
C. 若MA⋅BC=0，MC⋅AB=0，则MB⋅AC=0
D. 若AM=xAB+yAC，且x+y=13，则▵MBC的面积是▵ABC面积的23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设锐角▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2A，则2c+ba的取值范围是 ．
13.如图所示的图形是由六个直角边均为1和 3的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为 ．
14.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB=π3，AA1⊥底面ABCD，AA1= 3，点P是四棱柱ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为π6，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在锐角▵ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA−sinB 3a−c=sinCa+b．
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求▵ABC的周长的取值范围．
16.(本小题15分)
象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面)，且抽签时每人胜利的概率均为12，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为13，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为16，12，13.每场比赛结果相互独立．
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
(1)求证：BC⊥AC；
(2)若PA= 2，AC=BC=2，M是PB的中点，N、F分别在线段BC、AM上移动．
①求PB与平面PAC所成角的正切值；
②若FN//平面PAC，求线段FN长度取最小值时二面角F−BC−A平面角的正切值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ae−x+ex，a∈R．
(1)若函数f(x)为奇函数，求a的值；
(2)若f(x)≥a+1在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
(3)设g(x)=ex(f(−x)−e−x−1)，讨论方程g(−x)=−g(x)的根的个数．
19.(本小题17分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成α(01，∴a≤1，即a的取值范围是(−∞,1]．
(3)∵g(x)=ex(aex−1)=ae2x−ex，
设ℎ(x)=g(−x)+g(x)=ae2x−ex+ae−2x−e−x=a(e2x+e−2x)−(ex+e−x)，
令t=ex+e−x，则t≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当x=0取到等号，
∴e2x+e−2x=t2−2，
设m(t)=at2−t−2a且t∈[2,+∞),
令m(t)=0，得a=tt2−2=1t−2t，
令φ(t)=1t−2t,t∈[2,+∞)，则φ(t)=1t−2t在[2,+∞)上单调递减，
∴φ(t)∈(0,1]，
当a>1或a≤0时，y=φ(t)与y=a无交点，m(t)无零点，ℎ(x)无零点，方程无根；
当a=1时，t2−t−2=0，∴t=2或t=−1(舍)，
∵t=ex+e−x=2只有x=0一个解，
∴ℎ(x)只有一个零点，方程有一个根；
当00)，
∠BOC=π3,BC=1, OD=719OC=0,719n，
因为F为BC中点，则OF=12OC+12OB=12me1+12ne2，
E为BD中点，所以OE=12OD+12OB=12me1+738ne2，
所以，OE⋅OF=12me1+12ne2⋅12me1+738ne2=14m2e12+776n2e22+776mn+14mne1⋅e2，
因为e12=e22=1,e1⋅e2=1⋅1⋅csπ3=12．
OE⋅OF=14m2+776n2+776mn+14mn12=14m2+776n2+1376mn，
在▵OBC中依据余弦定理得m2+n2−mn=1，所以mn=m2+n2−1，
代入上式得，OE⋅OF=519m2+819n2−1376=1195m2+8n2−1376，
在▵OBC中，由正弦定理BCsinπ3=OCsin∠COB=OBsin∠BCO，
设∠BCO=θ,m=2 3sinθ,n=2 3sinθ+π3，
5m2+8n2=203sin2θ+323sin2θ+π3=203×1−cs2θ2+323×1−cs2θ+2π32
=235(1−cs2θ)+81+12cs2θ+ 32sin2θ
=23(13−cs2θ+4 3sin2θ)=23[13+ 48+1sin(2θ−φ)]≤403, tanφ=14 3，
则OE⋅OF=1195m2+8n2−1376≤119⋅403−1376=121228.
第一轮
甲−乙
丙−丁
第二轮
甲−丙
乙−丁
第三轮
甲−丁
乙−丙