湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
3. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
4. 已知为正实数，，则的最小值为（ ）
5. 将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
6. 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（ ）
7. 已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
8. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（ ）
10. 湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（ ）
11. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 某工厂生产的一批零件的使用寿命X（单位：年）近似服从正态分布．若，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60的概率是______．
13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)证明：；
(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？
16. 已知函数，为实数.
(1)当时，求与的极值；
(2)是否存在，使与均有2个零点.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
17. 如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
18. 已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
19. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高三下学期入学检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、函数与导数、复数、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．－36或36
B．－36
C．36
D．18
A．
B．
C．
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．若，则的最小值为1
C．
D．若是关于的方程的一个根，则
A．
B．是偶函数
C．函数的值域为，
D．当直线与和共有3个交点时，
A．四棱台的表面积是
B．四棱台的体积是
C．的最小值为
D．的最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
11
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.65
判断命题的必要不充分条件；垂直关系的向量表示；数量积的运算律
3
0.65
求等差数列前n项和；等比数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算
4
0.85
基本不等式“1”的妙用求最值
5
0.85
由正弦（型）函数的奇偶性求参数；求图象变化前（后）的解析式
6
0.65
抛物线定义的理解；根据韦达定理求参数；根据抛物线方程求焦点或准线；直线与抛物线交点相关问题
7
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；诱导公式五、六
8
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用
二、多选题
9
0.85
与复数模相关的轨迹（图形）问题；复数范围内方程的根；求复数的模；共轭复数的概念及计算
10
0.65
函数奇偶性的定义与判断；根据函数零点的个数求参数范围；复杂（根式型、分式型等）函数的值域；用导数判断或证明已知函数的单调性
11
0.65
几何图形中的计算；台体体积的有关计算；棱台表面积的有关计算
三、填空题
12
0.94
指定区间的概率
13
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；计算条件概率
14
0.4
根据极值点求参数；求过一点的切线方程
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；诱导公式二、三、四；余弦定理边角互化的应用
16
0.4
求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点；用导数判断或证明已知函数的单调性
17
0.65
证明线面垂直；已知线面角求其他量；线面角的向量求法
18
0.4
求双曲线的轨迹方程；双曲线中的直线过定点问题
19
0.65
独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的实际应用
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
等式与不等式
1,4
3
平面向量
2
4
数列
3
5
三角函数与解三角形
5,7,11,15
6
平面解析几何
6,18
7
函数与导数
7,8,10,14,16
8
复数
9
9
空间向量与立体几何
11,17
10
计数原理与概率统计
12,13,19