内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 若 tanπ−α=−3 ,则 csα+3π+csπ2−α2sinα+3π2+sinα+10π= ( )
A. 2 B. 25 C. −25 D. -2
2. 已知半径为 2 的扇形的圆心角为 π4 ,则扇形面积是( )
A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π
3. 已知复数 z=2−i ，则 z+3i= ( )
A. 25 B. 23 C. 22 D. 2
4. 如图所示,已知斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=a,AC=b,AA1=c ，点 M ， N 分别为线段 AC1 和 BC 的中点，则 MN= ( )

A. 12a−12c B. 12a−12b
C. 12a+12b−12c D. 12a−12b+12c
5. 样本数据2,2,3,4,5,6,7,7的第 70 百分位数为( )
A. 5 B. 5.5 C. 5.6 D. 6
6. 已知直线 ax−y+1=0 与曲线 y=ex−1+x9 在 x=1 处的切线垂直，则 a= ( )
A. −110 B. 110 C. -10 D. 10
7. 若圆 x−a2+y−a2=4a∈R 上到直线 x+y=0 的距离为 1 的点恰有三个,则 a 的值为( )
A. ±3 B. ±2 C. ±1 D. ±22
8. 已知向量 a=3,−1,b=2,1 ，则 a 在 b 方向上的投影向量的模为( )
A. 15 B. 55 C. 5 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 给出关于满足 A⫋B 的非空集合 A,B 的四个命题,其中正确的命题是( )
A. 若任取 x∈A ,则 x∈B 是必然事件 B. 若任取 x∉A ,则 x∈B 是不可能事件
C. 若任取 x∈B ,则 x∈A 是随机事件 D. 若任取 x∉B ,则 x∉A 是必然事件
10. 已知一组数据 x1,x2,x3,⋯,xn 的平均数为 xx≠0 ,将这组数据分别加上它们的平均数, 得到一组新数据 x1+x,x2+x,x3+x,⋯,xn+x ,则新数据与原数据相比 ()
A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同
11. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a5=−4,S5=−40 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. a10=6 B. S10=−30
C. 当且仅当 n=6 时, Sn 取最小值 D. a5+a6+a7+a8+a9=0
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设函数 fx=alnx+1−ax+1 ,曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与直线 x+2y+3=0 平行，则实数 a 的值为_____.
13. 设函数 fx=3x−b,x0 ,即 m0,csθ0 .
所以 sinθ−csθ=2105 .
16. 156
(2) 310
(1) 由于 tanα=3 ,
则 2sinα−csαsinα+3csα=2tanα−1tanα+3=6−13+3=56 ;
(2)由于 tanα=3 ，
则 sin2α−2sinαcsα=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−2tanαtan2α+1=9−69+1=310 .
17.(1) 由抛物线定义可知, P 点轨迹为以 1,0 为焦点,
以 x=−1 为准线的抛物线.
设 E 的方程为: y2=2px ,则 p2=1 .
所以动点 P 的轨迹 E 的方程为 y2=4x .
(2)证明: 设 Px1,y1,Qx2,y2 ，
分两类情况:
第一种: 直线 l 垂直于 x 轴,其方程为 x=4 ,
联立 y2=4xx=4 ,解得 P4,4,Q4,−4 ,
此时 OP⋅OQ=4×4+4×−4=0 ,
所以 OP⊥OQ,△OPQ 是直角三角形,
第二种: 直线 l:y=kx−4,l 与 E 联立得:
k2x2−8k2+4x+16k2=0,
x1+x2=8k2+4k2,x1⋅x2=16,
y12=4x1, y22=4x2, 所以 y1⋅y22=256,
又因为 y1 与 y2 异号, y1⋅y2=−16 或 y1⋅y2=16 不符合题意,
因为 OP⋅OQ=x1x2+y1y2=16−16=0 ,
所以 OP⊥OQ ,
所以 △OPQ 为直角三角形,
18. (1)有关联;
(2)0.28.
(1)零假设为 H0 : 番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联,
根据列联表中的数据,经计算得到 χ2=20062×55−45×382107×93×100×100≈5.808>3.841=x0.05 ,
根据小概率值 α=0.05 的独立性检验,推断 H0 不成立,
即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05 .
(2)令使用无土栽培的单株番茄产量为 X1 ，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为 X2 ， 抽到的 2 株番茄总产量为 Y ,则 Y=X1+X2 ,
则 PY>3=PX1=1.5PX2=1.6+PX1=2PX2=1.2+PX1=2PX2=1.6 =0.5×0.2+0.3×0.4+0.3×0.2=0.28 , 所以抽到的 2 株番茄总产量大于 3 kg 的概率为 0.28 .
19. 152
(2) k1=12
(3) k2=−12
(1) 解: 由题知 F12,0,B2,2 在抛物线 E:y2=2x 上,
所以,根据焦半径公式, BF=xB+12=2+12=52
(2)解:显然直线 l 的斜率 k1 存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y−2=k1x−2 ，
与 y2=2x 联立,消去 x 整理得 y2−2k1y+4k1−4=0 ,
令 Δ=0 ,即 −2k12−44k1−4=0 ,解得 k1=12 .
(3)

因为 M,N 是 x 轴上两个不同的动点,且满足 BM=BN ,
所以直线 BM,BN 的斜率互为相反数,
设直线 BM 的方程为 y−2=tx−2 ,与 y2=2x 联立,消去 x 整理得 y2−2ty+4t−4=0 , 所以 2⋅yP=4t−4 ,得 yp=2t−2 ,从而 P2t2−4t+2t2,2−2tt ,
将 t 换成 −t ,同理可得 Q2t2+4t+2t2,−2−2tt ,
所以 k2=−2−2tt−2−2tt2t2+4t+2t2−2t2−4t+2t2=−12灌溉系统
糖度达标
糖度不达标
合计
A 型
62
38
100
B 型
45
55
100
合计
107
93
200
X
1
1.5
2
P
0.2
0.5
0.3
X
0.8
1.2
1.6
P
0.4
0.4
0.2
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828