内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题含答案

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 如图,在空间中平移 △ABC 到 △A′B′C′ ，连接对应顶点. 设 AA′=a ， AB=b ， AC=c ， M 是 BC′ 的中点,则 AM 用向量 a,b,c 表示为 ( )

A. 12a+12b+12c B. 12a−12b−12c C. −12a+12b−12c D. −12a+12b+12c
2. 已知 3m=2,3n=4,3p=8 ,则 m,n,p
A. 成等差, 但不成等比 B. 成等比, 但不成等差
C. 既成等差, 又成等比 D. 既不成等差, 又不成等比
3. 如图所示,已知斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB=a,AC=b,AA1=c ，点 M ， N 分别为线段 AC1 和 BC 的中点，则 MN= ( )

A. 12a−12c B. 12a−12b
C. 12a+12b−12c D. 12a−12b+12c
4. 已知数列 an 的首项为 a1=2 ,且 an=1−1an−1n≥2 ,则 a7= ( )
A. -1 B. −12 C. 12 D. 2
5. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，点 Ps,t 在 C 上，且 PF=3 ， O 为原点，则 OP= ( )
A. 6 B. 23 C. 4 D. 22
6. 已知函数 fx=ex−x ,则其导数 f′x= ( )
A. 0 B. x−1 C. ex D. ex−1
7. 如图所示,空间四边形 OABC 中, OA=a,OB=b,OC=c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点，则 MN 等于( )

A. 12a−23b+12c B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−23c D. 23a+23b−12c
8. 已知直线 l1:3x−4y−6=0 和直线 l2:y=−1 ，抛物线 x2=4y 上一动点 P 到直线 l1 、直线 l2 的距离之和的最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S3=6a3+1,a2=2 ,则()
A. q=12 B. 数列 an 有最小项
C. 数列 an 为递减数列 D. an+Sn=8
10. 已知向量 AB=2,−1,−4,AC=4,2,0,AP=−1,2,−1 ,则下列说法正确的是 ( ).
A. BP=23 B. BC⊥AP
C. AP 是平面 ABC 的一个法向量 D. AB⊥AP
11. 已知点 A1,2,3,B−1,−1,2,C2,3,4 ,则( )
A. AB+AC=−1,−2,0
B. AB−2AC=−4,−5,−3
C. AB 在 AC 上的投影向量为 2,2,2
D. 点 B 到直线 AC 的距离为 2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比， 比例系数为 kk>0 ，贷款的利率为 7.05%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为 x,x∈0,7.05% ，为使银行获得最大利益，则存款利率为_____.
13. 如图，三棱锥 A−BCD 中， AB=BC=AC=DB=DC ，且平面 ABC 与底面 BCD 垂直， E 为 BC 中点， EF=DA ，则直线 AD 与平面 ABF 夹角的余弦值为_____.

14. 据有关文献记载: 我国古代一座 9 层塔共挂了 126 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多 3 盏，则塔的底层共有灯_____盖.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程 及验算步骤.
15. 已知坐标平面内一动点 P 到定点 1,0 的距离等于到定直线 x=−1 的距离.
(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；
(2)设 O 为坐标原点，过 4,0 点的直线 l 交 E 于 P ， Q 两点，求证: △OPQ 是直角三角形.
16. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,点 0,1 为 C 的一个焦点,且 C 的离心率为 12 .
(1)求 C 的标准方程；
(2)已知 M 为 C 的左顶点，直线 l:2x−y−2=0 与 C 交于 A,B 两点，求 △MAB 的面积.
17. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,已知 a1=−9,S3=−21 .
(1)求 an 的通项公式；
(2) 求 Sn ,并求 Sn 的最小值.
18. 如图,在三棱锥 A−BCD 中,平面 ABD⊥ 平面 BCD,AB=AD,O 为 BD 的中点.

(1)证明: OA⊥CD ；
(2)若 OA=OC=CD=OD ，点 E 在棱 AD 上， DE=2EA ，求二面角 E−BC−D 的大小.
19. 根据下列条件写出直线方程:
(1)斜率是 3 ，且经过点 2,1 的直线方程；
( 2 )原点 O0,0 与点 A−4,2 关于直线 l 对称，求直线 l 的方程；
(3)求经过点 2,3 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
1. A
AM=AB+BM=AB+12BC′=AB+12BC+BB′=AB+12BC+12BB′ =AB+12AC−AB+12AA′=12AA′+12AB+12AC=12a+12b+12c .
故选: A
2. A
由题可得 m=lg32,n=lg34=2lg32,p=lg38=3lg32 ,因此 m+p=2n ,可知 m,n,p 成等差;
由 p>n>m>0 ,但 mp=3lg322≠4lg322=n2 ,可知 m,n,p 不成等比.
故选: A.
3. A
由图可得:
MN=AN−AM=12AB+AC−12AC+AA1=12AB−12AA1=12a−12c .
故选: A.
4. D
因为 a1=2 ,且 an=1−1an−1n≥2 ,
所以 a2=1−1a1=1−12=12,a3=1−1a2=1−112=−1 ,
a4=1−1a3=1−1−1=2 ,所以该数列的周期为 3,
因此 a7=a3×2+1=a1=2 .
故选: D
5. B
由题意可知: 抛物线 C 的焦点为 F1,0 ,准线为 x=−1 ,
因为 PF=s+1=3 ,即 s=2 ,
且 t2=4s=8 ,所以 OP=s2+t2=4+8=23 .
故选: B.
6. D
根据导数的四则运算法则可知, f′x=ex−1 .
故选: D.
7. B
因为 OM=2MA,N 为 BC 中点,
所以 MO=−23OA,ON=12OB+OC ,
故 MN=MO+ON=−23OA+12OB+12OC=−23a+12b+12c .
故选: B
8. C
因为抛物线方程为 x2=4y ,所以焦点 F0,1 ,准线方程 y=−1 , 由抛物线定义可知,点 P 到直线 l2 的距离和点 P 到 F 的距离相等,
所以点 P 到直线 l1 、直线 l2 的距离之和的最小值即点 F 到直线 l1 的距离,
由 3×0−4×1−632+−42=105=2 知,距离之和的最小值为 2,
故选: C.

9. ACD
设正项等比数列 an 公比为 qq>0 ,
对于 A ,由题意得 a1q=2a1+a1q+a1q2=6a1q2+1 ,
结合 q>0 ,解得 a1=4q=12 或 a1=−5q=−25 (舍去),故 A 正确;
对于 B 和 C,an=4×12n−1=23−n ,故数列 an 为递减数列,无最小项,故 B 错误, C 正确;
对于 D,Sn=4×1−12n1−12=8−2−n+3 ,则 an+Sn=23−n+8−23−n=8 ,故 D 正确,
故选: ACD.
10. BCD
对于 A ,因为 BP=AP−AB=−3,3,3 ,所以 BP=−32+32+32=33 ,选项 A 错误;
对于 B ,因为 BC=AC−AB=2,3,4 ,所以 BC⋅AP=−2+6−4=0 ,
则 BC⊥AP ,选项 B 正确;
对于 D ,因为 AB⋅AP=−2−2+4=0 ,所以 AB⊥AP ,选项 D 正确.
对于 C ,因为 AB⊥AP,BC⊥AP,BC∩AB=B ,且 BC,AB⊂ 平面 ABC ,
所以 AP 是平面 ABC 的一个法向量,选项 C 正确.
故选: BCD.
11. ABD
由点 A1,2,3,B−1,−1,2,C2,3,4 ,得 AB=−2,−3,−1,AC=1,1,1 ,
对于 A,AB+AC=−1,−2,0 , A 正确;
对于 B,AB−2AC=−2,−3,−1−21,1,1=−4,−5,−3,B 正确;
对于 C,AC=3,AB⋅AC=−6 ,因此 AB 在 AC 上的投影向量为
AB⋅ACAC2AC=−2AC=−2,−2,−2,C 错误;
对于 D ,点 B 到直线 AC 的距离为 AB2−AB⋅ACAC2=14−−632=2 , D 正确.
故选: ABD
12. 0.047
设 y 表示收益,则存款量是 kx2 ,贷款收益为 0.0705kx2 ,
则收益 y=0.0705kx2−kx3,x∈0,0.0705 ,
∵y′=0.141kx−3kx2=3kx0.047−x ,
∴ 当 y′>0 时, 0