内蒙古自治区巴彦淖尔市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25B．C．50D．
4．若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．4B．C．2D．
5．下列结论正确的是（ ）
A．若事件A与事件B互斥，则
B．若事件A与事件B互斥，则
C．若事件A与事件B对立，则
D．若事件A与事件B对立，则
6．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
8．甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的实部是
B．的虚部为
C．
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
10．一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ）
A．小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5
B．小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183
C．小明这两个月的30次训练成绩的方差为6
D．小明这两个月的30次训练成绩的方差为24
11．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．设平面，则
B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为
C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为
D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为
三、填空题
12．数据21，19，31，25，28，18，30的极差是 .
13．在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为 .
14．在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则 .
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求m的值；
(2)若向量，且，求向量，的夹角.
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
17．某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数；
(3)现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
18．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求外接圆面积的最小值.
19．定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，.
(1)已知，且三棱柱的体积为18.
①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积；
②求三棱柱与三棱锥的重合度.
(2)若三棱柱与三棱锥的重合度，求的值.
1．B
根据共轭复数的定义求解.
【详解】由题意，，根据共轭复数的定义，则.
故选：B
2．B
根据投影向量定义计算即可.
【详解】因为，，且向量，的夹角为60°，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
3．D
由轴截面分析出圆锥的底面半径，母线长，从而得解.
【详解】由题意，圆锥的底面圆半径是，则底面圆周长是，
且侧面展开图的半径为，弧长为的扇形，
根据扇形面积公式，面积为：.
故选：D
4．D
二次方程有虚数根时，则也有其共轭复数作为另一个根，结合韦达定理求解.
【详解】由题意有虚根，则是方程的另一个根，
根据韦达定理，，解得.
故选：D
5．C
举例法可判断A；利用互斥与对立事件的关系可判断BCD.
【详解】对于A，若抛掷一枚质地均匀的色骰子出现1点记为事件A，出现2点记为事件B，
则互斥，但，故A错误；
对于B，事件A与事件B互斥，则，故B错误；
对于C，若事件A与事件B对立，则，故B正确；
对于D，若事件A与事件B对立，则，故D错误.
故选：C.
6．B
根据空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面，之间的位置关系逐项判断即可．
【详解】对于①，若，，，则或是异面直线，故①错误；
对于②，因为，记，在内作，所以，
因为，所以，又因为，所以，所以，故②正确；

对于③，若，，则，故③正确；
对于④，如图所示，，但，故④错误.

故选：B.
7．A
根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解.
【详解】根据题意作图，
则，,，
在中，根据正弦定理，，
即，则，
因为，
所以，.
即两点之间的距离为米.
故选：A.
8．C
根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件，
，则为事件，
所以
.
故选：C.
9．BD
复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断；
【详解】由题意可得，
A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确；
C：，故C错误；
D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确.
故选：BD.
10．BD
计算出两个月的30次训练的平均数，进而代入层抽样的样本方差公式进行计算即可.
【详解】对于AB，这两个月的30次训练的平均数为，故A错误，B正确；
对于CD，故这两个月的30次训练的方差为，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．ABD
利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假.
【详解】对A：取为空间向量的基底.
则.
设.
因为四点共面，所以.
所以，即，故A正确；
对B：如图：
连接，交于，连接.
因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面.
又分别为中点，为中点，所以，
所以，同理，
所以，即，故B正确；
对C：若，不妨设，,则，.
所以.
又，
设内切球的半径为，则，
即.
设外接球球心为，则在上，设外接球半径为，
则.
所以.故C错误；
对D：由B选项可知：，
且,所以，
又，所以，
所以.
所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确.
故选：ABD
12．13
利用极差的定义求解即可.
【详解】数据21，19，31，25，28，18，30的极差是.
故答案为：.
13．/
由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解.
【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图，
连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形，
所以，且，所以则为直线与所成角或其补角，
设正方体边长为，
则，，，
由余弦定理得：，
所以直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14．
利用向量的线性运算求得，利用三点共线可求得.
【详解】因为，所以，
所以，
又因为E是线段的中点，所以
因为，，所以，
又因为三点共线，所以，解得.

故答案为：.
15．(1)或.
(2)
（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.
（2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，.
又因为，
所以，解得：或.
（2）因为，，
所以，.
又因为，，
所以，解得：，
则.
所以，.
设向量，的夹角为，
因为，得
所以向量，的夹角为
16．(1)证明见解析
(2)
（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明；
（2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解.
【详解】（1）设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是，
由，即，则，显然，
又平面，则平面，
又平面，则平面平面.
（2）
作垂足为，作，垂足为，连接，
平面平面，，平面，平面平面，
于是平面，由平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则，又，
则为平面与平面所成角，
由，
则
17．(1)
(2)
(3)
（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值；
（2）根据频率之和，第60百分位数成绩在之间，均分该区间得到答案；
（3）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可.
【详解】（1）由题意可知，解得
（2），，，，对应的频率依次为：
0.1，0.15，0.25，0.35，0.15
第60百分位数累计频率为0.6，在之间，
（3），频率之比为，
抽2人，抽3人，
设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人，
则所有组合有：，共10种，
2人恰好在同一组的有：，共4种，
∴2人恰好在同一组的概率为：
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论；
（2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围；
（3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理：，
所以，
即，
所以；
（2）由余弦定理得
又因为，所以
所以的取值范围是：；
（3）由（2）可得，
所以外接圆，
所以外接圆面积的最小值为.
19．(1)①；②
(2)
【详解】（1）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积.
①作，交于点，连接，
因为平面，平面，所以平面，
因为，且，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为，所以为棱的中点，
则三棱柱的体积，三棱锥的体积.
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积.
②因为，所以，所以，
所以，所以.
因为，平面，平面，所以平面.
因为平面平面，且平面，
所以，所以，
则，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度.
（2）设，则，从而，
故三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积.
因为，所以，所以，
所以，所以.
因为，平面，平面，所以平面.
因为平面平面，且平面，
所以，所以，
则，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度.
因为，所以，所以，
所以，解得或或.
因为，所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
D
C
B
A
C
BD
BD
题号
11









答案
ABD