广东省惠州市光正实验学校高一下学期5月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省惠州市光正实验学校高一下学期5月期中数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了 已知向量，若，则， 下列正确的是， 在中，，为边的中点，则为， 已知复数等内容，欢迎下载使用。
说明：
1.试卷分两部分，第一部分(选择题)卷面总分58分，第二部分(填空及解答题)卷面总分.92分.考试时间120分钟，全卷总分150分
2.在答题卡上答题，答在试卷上无效，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数即可求解.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.
2. 圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圆柱的轴截面是以底面直径和圆柱的高为邻边的长方形，故圆柱的底面直径和高均为2，由此可求得底面圆的周长，乘以高即为此圆柱的侧面积.
【详解】由题意可知圆柱的底面直径和高均为2，所以圆柱的底面周长为，
故圆柱的侧面积为.
故选：D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的规则求出x，再根据向量的坐标运算规则求解.
【详解】 ， ；
故选：A.
4. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（ ）
A B. 2
C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】作出原图形，且得出原图形中的线段长度，由三角形的面积公式可求得答案.
【详解】解：作出原图形如下图所示：则，所以该平面图形的面积为，
故选：D.
5. 下列正确的是（ ）
A. 过球面上两点与球心有且只有一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】C
【解析】
【分析】对于A选项，举反例：球面上两点与球心在一条直线上；对于B选项：举反倒，平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台；对于C选项：由正棱锥的定义与性质知正确；对于D选项，举反例 ，侧棱的延长线不交于一点.
【详解】对于A选项：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图：
对于B选项： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台,如下图:
对于C选项：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形；
对于D选项：棱台要求侧棱的延长线交于一点,反例如下：
故选：C.
6. 已知，内角的对边分别是，则等于（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据正弦定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
由正弦定理得： ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题．
7. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知（，）为“理想复数”，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，所以
8. 在中，，为边的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，将两边平方，结合数量积的运算律计算可得.
【详解】因为为边的中点，所以，
所以，
所以，即为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D. 若复数是关于的方程的一个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
10. （多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A. 若是两条直线，是两个平面， 且， 则是异面直线.
B. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C. 若直线相交，平面且，则直线不在平面内.
D. 若是平面，直线，直线，则.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，通过特例可判断；对于B，利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系即可判断出正误；对于C，利用直线与平面平行的定义和直线与平面的位置关系即可判断出正误；对于D，利用平面内两直线的位置关系即可判断出正误.
【详解】选项A，例如长方体对面的两条对角线就是共面的，不合题意；
选项B，设，不重合，易知可确定唯一平面，
又，所以，又，所以，符合题意；
选项C，设，，所以，故直线不在平面内，符合题意；
选项D，因为直线，直线，则或与异面，不符合题意.
故选：BC.
11. 在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（ ）
A. 若为锐角，则B. 若为锐角，则
C. 若，则D. 若为锐角三角形，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对AB，由余弦定理即可判断；对C，由,结合正弦定理即可比较a，b大小，由大边对大角，即可比较A，B大小，对于D：利用正弦函数性质与诱导公式即可求得结果.
【详解】对于A：因为为锐角，则由，故A正确；
对于选项B：同A可知选项B错误；
对于选项C：由,由正弦定理得，
故，由大边对大角，得到,故选项C正确；
对于选项D:因为为锐角三角形，所以
且，因为正弦函数在区间单调递增，
故，故选项D正确；
故选:ACD
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数____.
【答案】##5.5
【解析】
【分析】利用平面向量垂直坐标表示计算即可.
【详解】因为，所以，即，解得.
故答案为：.
13. 已知复数，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解.
【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得，
所以，所以.
故答案为：.
14. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案.
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得外接圆半径，设球半径为，
于是，解得，所以球的体积是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证，
（2）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解.
【小问1详解】
连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
【小问2详解】
因为正方体中，平面，
所以．
16. 在中，已知，，点线段中点，，设，.

（1）用向量，表示；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；
（2）将用基底表示出来，再用数量积运算性质可解.
【小问1详解】
如图所示，

，
所以，
所以.
【小问2详解】
点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得，
由（1）知，则，
,则.则.
17. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
【小问2详解】
解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
18. 已知的内角的对边分别为，且的周长为．
（1）求；
（2）若，，是的平分线，且交于点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解.
（2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为的周长为，可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得．
因为，所以．
【小问2详解】
解：在中，因为，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，可得，，
所以，解得．
19. 设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上.
（1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，由点对施以视角运算， 求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解；
（2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长；
（3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“”法及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
由定义可知：，
在三角形中，，即，
在三角形中，，即，
因为是的中点，且，所以
【小问2详解】
因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），所以，
所以的周长为.
【小问3详解】
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.