2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高一下学期期中考试数学试卷(B卷)（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省惠州市光正实验学校高一下学期期中考试数学试卷(B卷)（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=1+i，则z=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i
2.已知a=(3,−1)，b=(1,2)，则a−2b的坐标是( )
A. (2,−3)B. (4,1)C. (1,−5)D. (5,3)
3.圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为( )
A. 4B. 6C. 6πD. 4π
4.已知向量a→=(1,1)，b→=(2,0)，则a→与b→的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 3π4
5.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中AB=AC=2，则该平面图形的面积为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 4
6.已知向量a=(−1,1),b=(2,x)，若a//b，则a−b=( )
A. 3 2B. 3C. 2 2D. 2
7.已知▵ABC，内角A、B、C的对边分别是a,b,c,a= 2,b= 3,B=60°，则A等于( )
A. 45°B. 30°C. 45°或135°D. 30°或150°
8.下列正确的是( )
A. 过球面上两点与球心有且只有一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于复数的说法，正确的是( )
A. 1−i的虚部为1B. 1−i=2
C. 1−i2是纯虚数D. 1−i在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列四个命题中，真命题是( )
A. 四边形可以确定一个平面
B. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C. 若直线m，n相交，且m/平面α，则直线n不在平面α内
D. 若直线l1⊂平面α，直线l2/平面α，则l1//l2
11.在▵ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是( )
A. 若A为锐角，则b2+c2>a2
B. 若A为锐角，则b2+c2sinB，则A>B
D. 若▵ABC为锐角三角形，则sinA>csB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则c= ．
13.已知a=(0,4)，b= 3,1，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 ．
14.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1中点，
(1)证明：BD1//平面AEC；
(2)求三棱锥E−ADC的体积．
16.(本小题15分)
已知复数z=1+mi(i是虚数单位，m∈R)，且z⋅3+i为纯虚数(z是z的共轭复数)．
(1)求实数m及|z|；
(2)设复数z2=a−iz，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是60°，计算
(1)计算a⋅b，|a+b|；
(2)求a+b和a的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
在ΔABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．
(1)求A；
(2)若a=3，b=2，求ΔABC的面积．
19.(本小题17分)
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2 3．
(1)求圆锥的底面积；
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.A
7.A
8.C
9.CD
10.BC
11.ACD
12.3
13. 3,1
14.12 3−π2
15.【详解】(1)在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，设AC，BD交于点O，连结OE，
O是BD中点，而E为DD1中点，则OE//BD1，
又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1//平面AEC．
(2)在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，ED⊥平面ADC，
所以三棱锥E−ADC的体积为VE−ADC=13×S▵ADC×DE=13×12×2×2×1=23．

16.【详解】(1)由z=1+mi，得z=1−mi，
z⋅(3+i)=(1−mi)(3+i)=(3+m)+(1−3m)i，
又z⋅(3+i)为纯虚数，则3+m=01−3m≠0，解得m=−3，z=1−3i，
所以|z|= 10．
(2)由(1)知z=1−3i，z2=a−i1−3i=(a−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=(a+3)+(3a−1)i10=a+310+3a−110i．
又复数z2(a+310,3a−110)所对应的点在第一象限，a+3>03a−1>0，解得a>13，
所以实数a的取值范围是a>13．

17.【详解】(1)由题可得a⋅b=a⋅b⋅cs60°=1×2×12=1，
|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1+2×1+4=7，所以|a+b|= 7；
(2)∵a+b⋅a=a2+a⋅b=1+1=2，
设a+b和a的夹角为θ，
所以csθ=a+b⋅aa+b⋅a=2 7×1=2 77．

18.【详解】(1)因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，
由正弦定理得a2=b2+c2+bc．
再由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12，
又因为A∈(0,π)，所以A=2π3．
(2)因为a=3，b=2，A=2π3
代入a2=b2+c2+bc得c2+2c−5=0，
解得c= 6−1．
故△ABC的面积S=12bcsinA=3 2− 32．

19.【详解】(1)沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设OB=R，在半圆⊙A中，AB=2 3，弧长BB’=2 3π，这是圆锥的底面周长，
所以2πR=2 3π，
所以R= 3，故圆锥的底面积为S1=πR2=3π；
(2)设圆柱的高OO1=ℎ，OD=r，
在RtΔAOB中，AO= AB2−OB2=3，
∵ΔAO1D1∽ΔAOB，所以AO1AO=O1D1OB，即3−ℎ3=r 3，ℎ=3− 3r，
圆柱侧面积为：S2=2πrℎ=2πr3− 3r=−2 3πr2− 3r=−2 3πr− 322+3 32π，
所以，当r= 32，ℎ=32时，圆柱的侧面积最大．