广东省东莞市光正实验学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市光正实验学校高二下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：杨璇 审题人：贤科华
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均变化率的定义进行求解即可
【详解】在区间上的平均变化率为.
故选：D
2. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义直接判断.
【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即，
在点的切线斜率等于，即，
在点的切线斜率大于，即，
所以，
故选：B.
3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 60B. 125C. 120D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】利用排列知识可得答案.
【详解】数字1，2，3，4，5组成的没有重复数字的三位数的个数为.
故选：A
4. 曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求导，代入求值即可.
【详解】，，故切线斜率为.
故选：A
5. 如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 12种B. 24种C. 48种D. 72种
【答案】C
【解析】
【分析】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有种涂法.
故选：C.
6. 下列函数中，在内为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可.
【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误；
对B，在内大于0恒成立，故B正确；
对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误；
对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误.
故选：B
7. 方程的正整数解的个数为（ ）
A. 15B. 35C. 40D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】转化为将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球，利用隔板法进行求解.
【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球，
可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板，
故共有种方法.
故选：D
8. 函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】时，，根据单调性得到恒成立，故，求导，得到在上单调递增，再满足分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到答案.
【详解】时，，，
因为在R上单调递增，故恒成立，即恒成立，
其中，
故，
，f′(x)=x2+2ax=xx+2a>0，
故在上单调递增，
要想在R上单调递增，需满足，
解得，
故a的取值范围是.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对每一选项的函数分别求导即得解.
【详解】解：A. ，所以该选项错误；
B. ，所以该选项正确；
C. ，所以该选项正确；
D. ，所以该选项错误.
故选：BC
10. 在8件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A. “其中恰有2件次品”的取法有6种B. “其中恰有1件次品”的取法有15种
C. “其中没有次品”的取法有20种D. “其中至少有1件次品”的取法有30种
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分步乘法、分步加法计数原理，利用组合，逐项判断即可.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=6（种），A正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=30（种），B错误；
抽到的3件产品中没有次品的取法有=20（种），C正确；
抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有+=36（种），D错误.
故选：BD
11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项.
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在处的导数是__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先求原函数的导函数，再把代入即可.
【详解】函数，有，所以函数在处的导数是.
故答案为：.
13. 展开式中常数项为______.（用数字作答）
【答案】54
【解析】
【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.
【详解】展开式的通项为，
令，得，所以展开始得常数项为.
故答案为：.
14. 若方程有两个解，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】构造，求导，得到函数单调性，并当时，恒成立，当时，恒成立，有两个解，即与有两个交点，数形结合得到答案.
【详解】设，其定义域为R，
则，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
当时，恒成立，当时，恒成立，
函数的大致图象如图，
有两个解，即与有两个交点，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求导数；
（2）求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
【答案】（1），
（2）；面积
【解析】
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
【小问2详解】
由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为．
当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积.
16. 已知函数在时取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）-8
【解析】
【分析】（1）求导，由得到方程，求出，检验后得到结论；
（2）在（1）基础上，得到函数单调区间；
（3）由（1）知为极小值点，计算出极小值和端点值，比较后得到最小值.
【小问1详解】
，由题意得，
即，解得，
故，
令得或，令得，
故为极小值点，满足要求；
【小问2详解】
由（1）可知，，
或时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问3详解】
由（1）知为极小值点，，
又，，
显然，故在区间上的最小值为-8
17. 甲乙丙丁戊五个同学
（1）排成一排，共有多少种不同的排列方法？
（2）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？
（3）排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？
（4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
（5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
【答案】（1）120 （2）72
（3）48 （4）243
（5）150
【解析】
【分析】（1）根据全排列公式求解即可；
（2）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得；
（3）利用捆绑法求解即可；
（4）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
（5）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.
小问1详解】
甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法；
【小问2详解】
甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，
再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）
【小问3详解】
甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法，
再与其他同学全排列有种排法，共有种排法；
【小问4详解】
去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，
因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）.
【小问5详解】
分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，
则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
18. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
请结合上图，回答以下问题：
（1）求杨辉三角中第8行的各数之和；
（2）证明：；
（3）在的展开式中，求含项的系数．
【答案】（1）256 （2）证明过程见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为；
（2）利用组合数运算公式得到；
（3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果.
【小问1详解】
杨辉三角中第8行的各数之和为
；
【小问2详解】
，
，
故；
【小问3详解】
的展开式中，含项的系数为
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性；
（2）在（1）基础上，得到，结合函数图象走势，得到只需，即，令，，注意到，求导得到其单调性，从而得到的解集，得到答案.
【小问1详解】
的定义域为R，
，
当时，恒成立，
故在R上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在R上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知，当时，在R上单调递减，不会有两个零点，舍去，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
其中，
故只需，即，
令，，
注意到，，
故在上单调递增，
故的解集为，
所以函数有两个零点，实数a的取值范围为.