广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

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【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；
对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误；
对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；
故选：D.
2．C
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由题意，得，
则.
故选：C.
3．C
【分析】根据投影向量公式可得.
【详解】根据题意得，
所以向量在方向上的投影向量为，
故选：C.
4．D
【分析】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
即，解得．
故选：D.
5．D
【分析】根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案．
【详解】根据题意，已知，，则，
若、、点共线，则，则有，解得：，
故选：D．
6．C
【分析】利用平面向量的基本定理和线性运算，以及平面向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：因为M是BC中点，所以，，
则，
则
因为，，
则，解得，
则，即
故选：C.
7.已知 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣,则 ∣a−b∣2=a−b2=a2−⋅2a⋅b+b2
因为 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣,所以 a2=∣a∣2,b2=∣b∣2,∣a−b∣2=∣a∣2,则可得： ∣a∣2=∣a∣2−2a⋅b+∣b∣2,又因为 ∣a∣=∣b∣,所以 2a⋅b=∣b∣, 即乙 b=12∣b∣2
a−b⋅b=a⋅b−b2, 将 a⋅b=12∣b∣2代入上式可得： a−b⋅b=12∣b∣2−∣b∣2=−12∣b∣2
设 a−b与b的夹角为θ，0≤0≤π，根据向量的夹角公式 csθ=a−b⋅b∣a−b∣×∣b∣
因为 ∣a∣=∣b∣=∣a−b∣,a−b⋅b=−12∣b∣2, 所以 csθ=a−b⋅b∣a−b∣×∣b∣=−12
因为0≤θ≤π, 且 csθ=−12,所以 θ=2π3. 即 a−b与b的夹角为 2π3
8．B
【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可.
【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.
故选：B.
9．ACD
【分析】利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.
【详解】∵在平行四边形中，，
∴分别为AB、AD的中点，
∴，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
根据三角形法则BF=BA+AF=BA+12AD=BA+12BC；故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】由共线向量概念可判断A，取，可判断B，由，可得的平分线垂直于BC，由，平方可得，即可判断C，由夹角可能为或，即可判断D.
【详解】解：对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误；
对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则，
若，取，则，而，
故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；
对于C、因为，对等式两边同时平方可得，
化简整理可得，所以，即
又因为，和分别是和方向上的单位向量，
设，，
则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线，
，说明的平分线垂直于BC，所以，
综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确；
对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或，
当夹角为时，， 选项D错误.
故选：BC
12．
【分析】先求出向量的模长，再求出即可.
【详解】向量，则，
故与方向相反的单位向量是
故答案为：
13．
【分析】由，得到，然后由sin2θ−sinθcsθ−2cs2θ=sin2θ−sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−tanθ−2tan2θ+1求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，又sin2θ−sinθcsθ−2cs2θ=sin2θ−sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ−tanθ−2tan2θ+1=-1
故答案为：-1
14．54m
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，
即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：54m.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可；
（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】（1）由，得，
而，则；
（2），
即与的夹角的余弦值为.
16．(1)；
(2) .
【分析】（1）由向量共线的性质即可求得参数；
（2）利用已知可求得，由 ，可求模.
【详解】（1）由 与 共线，则存在实数 ，
使得 ，
即 ，又 是不共线的两个非零向量，
因此 ，解得 ，或 ，实数 k 的值是 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）首先利用余弦定理求出、，再利用等面积法计算可得；
（3）首先求出，即可求出，再根据正弦定理计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，即，
所以，又，所以，即，
又，所以.
（2）由余弦定理，即，
又，所以，
所以，
又，所以.
（3）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的基底表示向量.
（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.
（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由，得，所以.
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19．(1),对称中心为
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【详解】（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，，
化简得，
，，，
.
（3）由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为。题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
D
D
C
B
B
ACD
ACD
题号
11









答案
BC