广东省惠州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为.
故选：D.
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. “，使得”B. “，使得”
C. “，使得”D. “，使得”
【答案】C
【解析】命题“，使得”的否定是“，使得”.
故选：C.
3. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若角是锐角，则角是第一象限角；
但角是第一象限角，则角不一定是锐角，
故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若，则有（ ）
A. 最小值3B. 最小值6
C. 最大值6D. 最大值3
【答案】B
【解析】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6.
故选：B.
5. ，，，则下列关于大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知单调递增，
，，，
所以.
故选：A.
6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，，
扇面面积为.
故选：B．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以
.
故选：D.
8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10. 已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】作出函数与函数的图像，如图，
当时，根据图像得，故A选项正确；
当时，根据图像得，故D选项正确.
故选：AD.
11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 对，不等式总成立
D. 对，且，总有
【答案】ACD
【解析】是上的奇函数，是上的偶函数，且，
则，有，
由，得，，
，为偶函数，A选项正确；
，B选项错误；
对，
，
所以不等式总成立，C选项正确；
对，且，则，，
所以，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】已知函数，则，所以．
13. 已知，，且，，则______．
【答案】
【解析】因为，，且，，
则，，
可得
，
即.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则__________.
【答案】（或写成）
【解析】因为，所以直线是函数的一条对称轴，
即，
又因为是奇函数，所以点是函数的对称中心，即，
所以，
所以，
故函数的周期是4，
因为是定义在上的奇函数，所以，
又当时，，
且，所以，
，
两式联立可解得，
所以当时，，
所以，
，
所以，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）
.
（2）
.
16. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式，并求的值；
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在上的单调递增区间.
解：（1）由图形可得，，，解得，
因为过点，
所以，即，所以，
又因为，所以，故，
所以.
（2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，
得到，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，
所以，
【方法一】令，
则，
因为，所以，
所以在上的单调递增区间为.
【方法二】令，所以，
因为的单调递增区间为，
且由，得，
所以在上的单调递增区间为．
17. 已知函数是上的偶函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上单调性，并用定义法证明；
（3）求不等式的解集.
解：（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立，
即对任意恒成立，整理得对任意恒成立，
所以.
（2）由（1）知，，在上单调递增，
任取，且，
则，
由，得，，，
因此，，则，
所以函数在上单调递增.
（3）由（1）、（2）知，上偶函数在上单调递增，在上单调递减，
不等式，则，解得或，
所以原不等式的解集为.
18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）；
（2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？
解：（1）依题意得：当时，，
则，所以，
因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
依题意得：当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，
所以当时，取最大值10万元；
当时，
.
当且仅当即时，取最大值14万元
因为，所以当时，取最大值14万元，
所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
19. 若函数在定义域内存在实数满足，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.
（1）若函数，判断是否为上的“阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若函数是上的“阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.
解：（1）解法一：若是上的“阶局部奇函数”，
则，满足，
即.
即，，
因为，则，所以，，解得，
则在上存在实数满足，
故是上的“阶局部奇函数”；
解法二：因，所以，故，
即在上存在实数满足，
故是上的“阶局部奇函数”.
（2）由题意可得，使得，
即使得，
故使得，即，
因为，所以，
又因为，使得，则，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）由题意得，在上有解，
即在上有解，
①当时，解得，满足题意，
②当时，对于任意的实数，恒成立，
即恒成立，即，
因为，所以在单调递增，
所以恒成立，即，
解得，
由于，综上所述.