黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
3. 已知平面向量，若，则（ ）
A B. C. 0D. 1
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
6. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ）
A. 11，4B. 8，8C. 11，8D. 4，2
7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是

A. 0．729B. 0．8829C. 0．864D. 0．9891
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列四个命题中，假命题有（ ）
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若为两个事件，则
C. 若事件彼此互斥，则
D. 若事件满足，则是对立事件
10. 函数（）图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线是函数的图象的一条对称轴
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象
D. 函数在上的最大值为
11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为
B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
C. 若点P在线段上运动，则
D. 以D为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分）
12. ______.
13. 已知函数的部分图像如图所示，则______．
14. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积木”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为面积，则“三斜求积木”可用公式表示．若，且，则面积的最大值为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）
15. 已知，，是同一平面内的三个向量，．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
16. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足
（1）求；
（2）若，点在延长线上，且，求．
17. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及这组数据的第百分位数；
（2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率．
18. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）条件下，求二面角的平面角的余弦值．
19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H.
（1）求；
（2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值；
（3）若，求的值.
参考答案
1-8
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】D
【答案】D
【答案】C
【答案】C
【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13【答案】4
14.【答案】
15.【小问1】
设向量，
因为，，，所以，
解得或，
所以或.
【小问2】
由题，
因为与垂直，所以，
又，所以，得，
所以，
又，故.
16.【小问1】
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，所以．
因为三角形内角，所以．
【小问2】
在中，由正弦定理，得，
所以．
因为为锐角三角形，所以．所以．
在中，由余弦定理，得，
所以，所以．
所以．
17.【小问1】
由频率分布直方图可知，，
解得，
因，，
所以这组数据的第百分位数位于，设其为，
则，
解得，即这组数据的第百分位数为；
【小问2】
由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，，
则分数在内的学生中抽取人，记为，，，，
从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，，
，，，，，，共个，
满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个，
故所求的概率．
18.【小问1】

，，为等边三角形，
为的中点，，
取中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，．
又，，、平面，平面．
平面ABD，．
又，、平面，
平面．
小问2】
过点作，垂足为．如图所示

由（1）知，平面．平面，．
又，平面，平面，
为与平面所成角．
由（1）知，平面ABD，平面，．
在中，，，，
为的中点，．
在中，，，
在中，，
在中，由余弦定理得，
．
与平面所成角的正弦值为．
【小问3】

取的中点为，连接，
为线段的中点，，，
由（1）知，平面，平面．
又平面，所以．
过点P作，垂足为，连接．
，平面，平面．
又平面，，
为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为的中点，．
由（1）知，平面ACD．
又平面，所以．
在中，，
由（2）知，，即，解得．
平面，平面，．
在中，，．
所以二面角的平面角的余弦值为．
19.【小问1】
在锐角中，∵，其外接圆O的半径为，
∴由正弦定理可得：，解得.
.
由题可知，.
【小问2】
设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点.
由题意及对称性可知.
故要使取得最小值，只需最小.
在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时.
∴，
即的最小值为.
【小问3】
由（1）可知：，.
，.
又，
∴由圆的性质可知.
又，
∴，解得.
∴在锐角中，，，
，.
∴由正弦定理可得：，
∴，.
在中，由点H是的垂心可得，，.
在中，由正弦定理可得，.
同理可得，
，
∴.