江西丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题含答案

这是一份江西丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线 3x+y−1=0 的倾斜角为( )
A. 3 B. −3 C. π3 D. 2π3
2. 抛物线 y=2x2 的准线方程为( )
A. y=−12 B. x=−12 C. y=−18 D. x=−18
3. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A. y=±2x B. y=±3x C. y=±22x D. y=±32x
4. 已知随机变量 X∼N2,σ2 ，且 PX>3=0.2 ，则 P10,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,若在 C 上存在点 P (不是顶点),使得 ∠PF2F1=3∠PF1F2 ,则 C 的离心率的取值范围为 ( )
A. 1,2 B. 2,+∞ C. 1,3 D. 2,2
二、选择题: 本大题共 3 个小题, 每小题 6 分, 满分 18 分.在每小题给出的选项 中, 有多个选项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选错或 不选得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. 若随机变量 X 服从两点分布 (或 0-1 分布),且 EX=12 ,则 DX=18
B. 若随机变量 X 满足 PX=k=C2kC42−kC62,k=0,1,2 ,则 EX=23
C. 若随机变量 X∼B2,13 ,则 DX=49
D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 Z ，若 Z∼B10,0.7 ，则此人最有可能 7 次击中目标
10.《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有“阳马” P−ABCD 如下图所示，其中 PA⊥ 平面 ABCD ， PA=AB=AD=3 ，点 E 在棱 PC 上运动. 下列说法错误的是( )

A. 存在点 E ,使得 AE//BP
B. 存在点 E ,使得 AE⊥BE
C. 点 E 到平面 PBD 距离的最大值为 3
D. 当 PC=2PE 时,三棱锥 P−ABE 的体积是四棱锥 E−ABCD 体积的 13
11. 如图, P 是椭圆 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 与双曲线 C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0 在第一象限的交点,且 C1,C2 共焦点 F1,F2,∠F1PF2=θ,C1,C2 的离心率分别为 e1,e2 ,则下列结论不正确的是 ( )

A. PF1=m+a,PF2=m−a B. 若 θ=60∘ ,则 1e12+3e22=4
C. 若 θ=90∘ ,则 e12+e22 的最小值为 2 D. tanθ2=bn
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 A1,1,1,B−2,1,−1 ,点 P 在坐标平面 xOy 上,且 A、B、P 三点共线,则 P 点的坐标为_____.
13. x2−x−2y5 的展开式中, x5y2 的系数为_____
14. 已知甲盒中有三个红球和两个白球, 乙盒中有两个红球和两个白球, 所有小球除颜色外, 其他都相同. 某人先从乙盒中任取两个球, 放入甲盒中, 再从甲盒中任取两个球, 则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知点 P2,−5 和圆 C:x2+y2−2x=0 .
(1)求经过点 P 的圆 C 的切线方程；
(2)若 x,y 是圆 C 上一动点，求 y+5x−2 的取值范围.
16. 习近平总书记在十九大报告中指出, 必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,某城市选用某种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第 x 天的高度为 y cm ,测得一些数据图如下表所示:
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求 y 关于 x 的回归直线方程，并预测第 7 天这株幼苗的高度.
参考数据: i=15xiyi=40,i=15yi−y2=3.06,30.6≈5.53 .
参考公式:相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2 ,
回归方程 y=bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
17. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中, CC1⊥ 平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3 , 点 D,E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上,且 AD=1,CE=2,M 为棱 A1B1 的中点.

(1)求证: C1M⊥B1D ；
(2)求二面角 C1−B1E−D 的余弦值.
18. 有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动,为了解男女学生参与答题意愿的差异,男生、女生各取 100 人. 设事件 A= “学生愿意报名参加答题活动”, B= “学生为男生”,据统计
PA=35,PB∣A=23.
(1)根据已知条件，完成下列 2×2 列联表，并依据小概率值 α=0.001 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关?
(2)网络答题规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 23 .
(i) 若答题活动设置 nn∈N∗且n≥10 道题,甲仅答对其中 10 道题的概率最大,求 n 的值.
(ii)若答题活动设置 4 道题，且答题规则如下:每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题,直到 4 道题答完. 已知甲同学报名参加答题活动,用 X 表示在本次答题的题目数量,求 X 的分布列和期望.
参考公式与数据: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,其中 n=a+b+c+d .
19. 已知焦点在 x 轴上的椭圆过点 0,1 ,离心率 e=63 .
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线 l:y=kx+mk≠0 与椭圆相交于不同的两点 C 、 D ，点 P 是椭圆上的动点(异于点 C、D) .
① 当 m=0 时,若直线 PC,PD 斜率均存在,判断 kPC⋅kPD 是否为定值，并证明你的结论; ② 当点 P 的坐标为 0,−1 时, PC=PD ,求实数 m 的取值范围.
1. D
由题可知,可将直线方程 3x+y−1=0 化为 y=−3x+1 ,可得直线斜率为 −3 , 设倾斜角为 α ,则 tanα=−3 ,
由 α∈[0,π) 得倾斜角为 2π3 .
故选: D.
2. C
由 y=2x2 得 x2=12y ,所以 2p=12 ,所以 p2=18 ,
故抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=−18 .
故选: C.
3. A
∵e=ca=3,∴b2a2=c2−a2a2=e2−1=3−1=2,∴ba=2 ,
因为渐近线方程为 y=±bax ,所以渐近线方程为 y=±2x ,选 A.
4. B
因为随机变量 X∼N2,σ2 ,且 PX>3=0.2 ,
则 P13=1−2×0.2=0.6 .
故选: B.
5. B
设点 A0,−2 关于直线 2x−4y+3=0 的对称点为 A′x,y ,
则 2×x2−4×y−22+3=0y+2x×12=−1 ,解得 x=−115y=125 ,
所以 A′−115,125 ,
所以 PA+PB=PA′+PB≥A′B=25625+14425=4 ,
当且仅当点 P 为线段 A′B 与直线 2x−4y+3=0 的交点时等号成立,
所以 PA+PB 的最小值是 4 ,
故选: B.

6. A
若甲被选出,从其它 3 位同学选 2 位有 C32=3 种,
将甲安排为记分员或秩序员有 C21=2 种,另 2 人作全排有 A22=2 种,
所以共有 3×2×2=12 种;
若甲不被选出,只需将选出的 3 人作全排列有 A33=6 种,
综上,共有 12+6=18 种.
故选: A
7. B
如图所示,取 CC1 的中点 D ,连接 PD ,
则 2PD=PC+PC1,2DC=PC−PC1 ,两式平方后相减可得
4PC⋅PC1=4PD2−4PC12 ,即 PC⋅PC1=PD2−DC2 ,
其中 DC=12CC1=1 ,故 PC⋅PC1=PD2−1 ,
故当 PD 取得最小值时, PC⋅PC1 取得最小值,
当 P 位于矩形 ABB1A1 的中心时, PD 取得最小值,最小值为等边 △ABC 的中线长,即 22−12=3
故 PC⋅PC1min=3−1=2 .

故选: B
8. D
设 PF1 与 y 轴交点为 Q ,连接 QF2 ,
由对称性可知 ∠QF1F2=∠QF2F1 ,
又因为 ∠PF2F1=3∠PF1F2 ,
所以 ∠PF2Q=∠PQF2=2∠PF1F2 ,
所以 PQ=PF2 ,
又因为 PF1−PF2=2a ,
所以 PF1−PF2=PF1−PQ=QF1=2a ,
在 Rt △QOF1 中, QF1>OF1 ,
所以 2a>c ,
所以 e=ca22 ,
则 e=ca>2 ,
综上: e∈2,2 .

故选: D.
9. BCD
对于 A ,由随机变量 X 服从两点分布, EX=12 ,得试验成功的概率 p=12 ,
因此 DX=0−122×1−12+1−122×12=14 , A 错误;
对于 B ,由随机变量 X 满足 PX=k=C2kC42−kC62,k=0,1,2 ,
得 X 服从超几何分布,因此 EX=2×26=46=23 , B 正确;
对于 C ,由随机变量 X∼B2,13 ,得 DX=2×13×1−13=49,C 正确;
对于 D,PZ=k=C10k×0.7k×0.310−k,k∈N,k≤10 ,由 PZ=k≥PZ=k+1PZ=k≥PZ=k−1 ,
得 C10k×0.7k×0.310−k≥C10k+1×0.7k+1×0.39−kC10k×0.7k×0.310−k≥C10k−1×0.7k−1×0.311−k ,解得 6.7≤k≤7.7 ,
则 k=7 ,即 PZ=7 最大,此人最有可能 7 次击中目标, D 正确.
故选: BCD
10. ABD
依题意,直线 AB,AD,AP 两两垂直,以点 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，

则 A0,0,0,B3,0,0,C3,3,0,D0,3,0,P0,0,3 ,
PC=3,3,−3 ,令 PE=tPC=3t,3t,−3t,0≤t≤1,E3t,3t,3−3t ,
对于 A,AE=3t,3t,3−3t,BP=−3,0,3 ,
若 AE//BP ，则 AE//BP ，必有 t=0 ，
此时 AE=0,0,3 与 BP 不共线,矛盾, A 错误;
对于 B,AE=3t,3t,3−3t,BE=3t−3,3t,3−3t ,
AE⋅BE=93t2−3t+1=93t−122+14>0,
则 AE⊥BE 不成立,即 AE,BE 不垂直, B 错误;
对于 C ,设平面 PBD 的法向量 n=x,y,z ,而 BP=−3,0,3,BD=−3,3,0 ,
则 n⋅BP=−3x+3z=0n⋅BD=−3x+3y=0 ,令 x=1 ,得 n=1,1,1 ,
点 E 到平面 PBD 距离, d=PE⋅nn=3t3=3t≤3 ,
当且仅当 t=1 ,即 P 与 C 重合时取等号, C 正确;
对于 D ,当 PC=2PE 时, t=12 ,点 E32,32,32 到平面 PAB 与平面 ABCD 的距离都为 t=32,
而 S△PAB=12S□ABCD ,
则 VP−ABE=VE−PAB=13S△ABC⋅32=13⋅12S□ABCD⋅32=12VE−ABCD , D 错误.
故选: ABD.
11. ACD
依题意, PF1+PF2=2aPF1−PF2=2m ,解得 PF1=a+m,PF2=a−m , A 不正确;
令 F1F2=2c ,由余弦定理得:
csθ=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=a+m2+a−m2−4c22a+ma−m=a2+m2−2c2a2−m2,
当 θ=60∘ 时, a2+3m2=4c2 ,即 ac2+3mc2=4 ,因此 1e12+3e22=4, B 正确;
当 θ=90∘ 时, a2+m2=2c2 ,即 ac2+mc2=2 ,有 1e12+1e22=2 ,
而 010.828=x0.001 ,
依据小概率值 α=0.001 的独立性检验,我们推断 H0 不成立,
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联, 此推断犯错误的概率不大于 0.001 ;
(2)(i)设随机变量 Y 为甲答对题目的个数，则 Y∼Bn,23 .
则 PY=k=Cnk×23k×13n−k,k=0,1,…,n ,
假设最有可能答对题目的数量是 10 次,则 PY=10>PY=11PY=10>PY=9
即: Cn10×2310×13n−10>Cn11×2311×13n−11Cn10×2310×13n−10>Cn9×239×13n−9 ,
解得 14m2−1 (i),
x1+x2=−6km3k2+1 ,则 xH=−3km3k2+1,yH=kxH+m=m3k2+1 ,
所以 H−3km3k2+1,m3k2+1 ,因为 PC=PD ,则 PH⊥CD ,从而 kPHkCD=−1 ,即 kPH=−1k .
而 P0,−1 ,所以 kPH=m3k2+1+1−3km3k2+1=3k2+m+1−3km=−1k ,化简得 3k2=2m−1 ,
由 3k2=2m−1>0 得 m>12 (ii),将 3k2=2m−1 代入 (i)
则 2m−1>m2−1 ,得: 0