江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份江西宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线x−3y=0的倾斜角为（ ）
A. 150°B. 120°
C. 60°D. 30°
2. 若双曲线y2a2−x2=1(a>0)的离心率为3，则a=（ ）
A.2B. 2
C.1D. 22
3. 已知a=(3,−2,−1)，b=(2,m,m−3)，若a⊥b，则m的值为（ ）。
A. −3B. −4
C.3D.4
4. 已知椭圆x2m+y24=1(m>0)与双曲线x2n−y2=1(n>0)有共同的焦点，则直线mx+ny=1必过定点（ ）
A. 15,−15B. 13,−13
C. (1,−1)D. (3,−3)
5. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）。
A. 18B. 14
C. 25D. 12
6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点O，有12OP=6OA−4OB+3OC，则P、A、B、C四点共面
B. 已知向量a=(2,1,−3)，b=(1,2,1)，则a在b上的投影向量为16,13,16
C. 若直线l的方向向量为m=(1,−1,1)，平面α的法向量为n=(−1,1,−1)，则直线l∥α
D. 点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(3,−2,−1)
7. 已知直线l：x−ay+5a=0，则点P(2,5)到直线l的最大距离为（ ）
A.5B.2C.8D.10
8. 已知点P为直线l:2x+y+2=0上的一个动点，A，B为圆M:x2+y2−2x−2y−2=0上任意两个不重合的点，记cs∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n=（ ）
A. 25B. 15
C. 5−255D. 5−55
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 数据−3，−1，3，7，8，9，11，15的极差是18
B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数R2越大的模型，拟合效果越好
C. 已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=36，D(X)=9，则n=48
D. 依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=6.998>6.635=χ0.012，则依据α=0.01的独立性检验，可以认为两个变量没有关联
10. 圆C1:(x−1)2+y2=1与圆C2:x2+(y−a)2=9没有公共点，则a的值可能是（ ）
A. −3B. −1
C.2D.4
11. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A. 三棱锥P−A1QC的体积为定值
B. 在直三棱柱ABC−A1B1C1内部能够放入一个表面积为4π的球
C. 直线PQ与AC所成角的正切值的最小值是22
D. A1P+PQ的最小值为10+26
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 直线l与抛物线x2=4y交于A，B两点，若|AB|=6，则AB中点M到x轴距离的最小值是_____。
13. 有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有_____种不同的分派方法。（用数字作答）
14. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12。过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=12，则∆ADE的周长是_____。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知圆C的圆心在y轴上，且经过点(3,1)，(2,2)。
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P(1,5)的直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程。
16. 在二项式3x+2xn的展开式中，
（1）若第4项的系数与第6项的系数比为5:6，求展开式中的有理项；
（2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项。
17. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成。
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为23，选取乙队的概率为13，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男生与女生人数之差，求X的分布列与期望。
18. 在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=AB=2，DC=4，∆PAD为等边三角形，点E，F分别为AD，AB的中点。
（1）证明：BC⊥平面PEF；
（2）求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值；
（3）点M为线段DC上的动点，求直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围．
19．已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A、B，P、Q是C上异于A、B的两点．
（1）设k1、k2分别为直线PA、PB的斜率，求k1k2的值；
（2）若直线AP和直线BQ相交于点M，且点M在直线x=4上，
（i）证明：直线PQ过定点；
（ii）若∆ABM和∆PQM的外接圆面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值．
1．D
2．D
3．C
4．A
5．D
6．B
7．B
8．A
9．ABC
10．BD
11．ACD
12．2
13．34
14．26
15.（1） x2+(y−2)2=4
（2） x=1或4x−3y+11=0
（1）设圆心的坐标为C(0,b)，由题意可得(3)2+(1−b)2=22+(2−b)2，
解得b=2，
所以圆的半径为r=22+(2−2)2=2，
因此，圆C的标准方程为x2+(y−2)2=4；
（2）当|AB|=23时，圆心C到直线l的距离为d=22−|AB|22=4−3=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
此时，圆心C到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−5=k(x−1)，即kx−y+5−k=0，
则d=|−2+5−k|k2+1=1，解得k=43，
此时，直线l的方程为4x−3y+11=0，
综上所述，直线l的方程为x=1或4x−3y+11=0。
16.（1）x2，160x2，64x6
（2）1792x−4，1792x−163
（1）由题意得Cn3·23:Cn2·25=5:6，
∴6Cn3=20Cn2，即n2−7n+6=0，解得n=6或n=1（舍）。
∴Tk+1=Cnk·(3x)n−k·2xk=Cnk·2k·x6−4k3，k=0，1，2，…，6，
所以k=0，3，6时为有理项
即展开式中的有理项为：T1=x2，T4=160x2，T7=64x6。
（2）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，
设第r+1项的展开式系数最大，则
{C8r⋅2r≥C8r−1⋅2r−1C8r⋅2r≥C8r+1⋅2r+1，解得5≤r≤6。
所以展开式中系数最大项为：T6=C85(3x)32x5=1792x−4，T7=C86(3x)22x6=1792x−163。
17.（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=23×36+13×45=13+415=35
（2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，X的可能取值为1、3、5，
则P(X=1)=C32C62=315=15，P(X=3)=C31C31C62=915=35，P(X=5)=C32C62=315=15，
故X的分布列为：
数学期望为E(X)=1×15+3×35+5×15=3
18.（1）连接BD，因为点E，F分别为AD，AB的中点，所以EF∥BD，
因为四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=AB=2，
所以BD=AD2+AB2=22，∠ADB=∠BDC=45°，
在∆BDC中，由余弦定理可得
BC2=BD2+DC2−2BD·DC·cs∠BDC=8+16−2×22×4×22=8，
所以BC2+BD2=DC2，所以BD⊥BC，所以EF⊥BC，
又因为∆PAD为等边三角形，点E为AD的中点，所以PE⊥AD，
又因为侧面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC，
又因为EF∩PE=E，EF，PE⊂平面PEF，所以BC⊥平面PEF；
（2）取BC的中点N，连接EN，可得EN⊥AD，
又PE⊥平面ABCD，又EN⊂平面ABCD，所以PE⊥EN，
以E为坐标原点，EA，EN，EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(−1,0,0)，P(0,0,3)，F(1,1,0)，C(−1,4,0)，E(0,0,0)，
则EP→=(0,0,3)，EF→=(1,1,0)，DP→=(1,0,3)，DC→=(0,4,0)，
设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
{m→⋅EP→=3z=0m→⋅EF→=x+y=0，令x=1，则y=−1，z=0，
则平面PEF的一个法向量为m=(1,−1,0)，
设平面PCD的一个法向量为n=(m,n,s)，
则{n→⋅DP→=m+3s=0n→⋅DC→=4n=0，令s=1，则m=−3，n=0，
所以平面PCD的一个法向量为n=(−3,0,1)，
则cs⟨m，n⟩=m·n|m|·|n|=−31+1×3+1=−64，
所以平面PEF与平面PCD所成角的余弦值为64；
（3）设DM→=λDC→(0≤λ≤1)，则DM→=λDC→=λ(0,4,0)=(0,4λ,0)，
又PM→=DM→−DP→=(0,4λ,0)−(1,0,3)=(−1,4λ,−3)，
又平面PEF的一个法向量为m=(1,−1,0)，
设平面PM与平面PEF所成的夹角为θ，
则sinθ=|cs⟨m，PM→⟩|=|m·PM→||m|·|PM→|=|−1−4λ|2×1+16λ2+3=1+4λ8+32λ2，
令t=1+4λ∈[1,5],1t∈15,1,
则1+4λ8+32λ2=t8+32(t−14)2=t8+2t2−4t+2=t2t2−4t+10=12−4t+10t2，
令f(t)=10t2−4t+2=101t−152+85，可得f(t)min=85，f(t)min=8，
所以12−4t+10t2∈24,104,
所以直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为24,104.
19.（1）−34;
（2）（i）略；（ii）169.
X
1
3
5
P
15
35
15