江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共27页。试卷主要包含了 若，则， 复数， 已知⼀个扇形， 已知平等内容，欢迎下载使用。
4. 若，则（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
在四边形中， ， 将折起， 使平⾯ 平⾯，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（）
的内⻆，，所对的边分别是，， ，已知，则的最⼤值为
（）
A. B. C. D.
21 世纪以来，中国钢铁⼯业进⼊快速发展阶段，某⼯⼚要加⼯⼀种如图所示的圆锥体容器，圆锥的⾼和
⼀单选题
、
学试题
1. 复数
的共轭复数是（）
A.
B.C.
D.
2. 已知⼀个扇形
圆⼼⻆为，且所对应的弧⻓为，则该扇形⾯积为（
）
A
B.
C.
D.
3.
A.
已知向量
3
B.
，且
，则
C. 2
的值为（
）
D.
A.
B.
C.
平⾯
平⾯
D. 平⾯
平⾯
⺟线⻓分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出⼀个正⽅体槽，则可以挖出的正⽅体的最⼤棱⻓为
（）
、
⼆多选题
对于函数和，下列说法中正确的有（）
与有相同的零点B. 与有相同的最⼤值
C. 与有相同的最⼩正周期D. 与的图象有相同的对称轴
已知分别是三个内⻆的对边，下列四个命题中正确的是（）
若，则锐⻆三⻆形
如图，正⽅体的棱⻓为 2，，分别是，的中点，点是底⾯内
⼀动点，则下列结论正确的为（）
A.
B.
C.
D.
8. 已知平
⾯向量、
、
满⾜
， 且
对任意实数恒成⽴， 则
A.
的最⼩值为（
B.
）
C.
D.
B. 若
，则
是等腰三⻆形
C. 若
，则
是等腰三⻆形
D.
是锐⻆三⻆形，则
存在点，使得平⾯
过，，三点的平⾯截正⽅体所得截⾯图形是平⾏四边形
异⾯直线与所成的⻆的⼤⼩为
若平⾯，则点的轨迹的⻓度为
、
三填空题
已知，，则在⽅向上的投影向量坐标为．
若，则．
已知四边形 ABCD 为平⾏四边形，，，，现将沿直线 BD 翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表⾯积的⽐值为.
、
四 解答题
记内⻆ A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且．
求 B 的⼤⼩；
若，的⾯积为，求的周⻓．
如图，在三棱柱中，侧⾯为菱形，边⻓为 2，且，，是的中点.
求证：平⾯；
若平⾯平⾯，与平⾯所成的⻆为，求四棱锥的体积.
已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为.
求解析式和函数的单调递增区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸⻓为原来的 2 倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的⽅程在上只有⼀个解，求实数的取值范围.
如图，已知三棱台，底⾯是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形，体积为，
平⾯平⾯，且.
证明：平⾯；
求点到⾯的距离；
在线段上是否存在点，使得⼆⾯⻆的⼤⼩为，若存在，求出的⻓，若不存在，请说明理由.
如图，中，，，点在线段上，为等边三⻆形.
若，，求线段的⻓度;
若，求线段的最⼤值;
若平分，求与内切圆半径之⽐的取值范围.
江⻄省宜春市丰城市第九中学 2025-2026 学年⾼⼆上学期开学考试数学试题
、
⼀单选题
【分析】先求出扇形的半径，再根据公式可求扇形的⾯积.
【详解】因为扇形的圆⼼⻆为，且所对应的弧⻓为，故半径为 ，
故⾯积为
，
故选：B.
3. 已知向量
，且
，则的值为（
）
A. 3
【答案】A
B.
C. 2
D.
【解析】
【分析】应⽤向量垂直的坐标表示列⽅程，求参数值.
【详解】由题设，可得.
故选：A
1. 复数
的共轭复数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求
，进⽽可得共轭复数.
【详解】因为
，所以
.
故选：B.
2. 已知⼀个扇形的圆⼼⻆为
，且所对应的弧⻓为，则该扇形⾯积为（
）
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两⻆差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可.
【详解】由题意得，
则
故选：B
在四边形中， ， 将折起， 使平⾯ 平⾯，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（）
【分析】根据线⾯、⾯⾯垂直的判定定理以及线⾯、⾯⾯垂直的性质定理逐项判断即可.
【详解】对于B，如图①，因为，
所以，
⼜因为，，
所以，
4. 若
，则
（
）
A. 1
【答案】B
B. -1
C. 2
D. -2
【解析】
A.
B.
C. 平⾯
平⾯
D. 平⾯平⾯
【答案】D
【解析】
所以，故A 正确；
对于C，由选项A 知，平⾯，因为平⾯，
所以平⾯平⾯，故C 正确;
对于D，如图②过点A 作，垂⾜为，
因为平⾯平⾯，平⾯， 平⾯平⾯，所以平⾯，
显然平⾯，所以平⾯与平⾯不垂直，故D 错误.故选：D.
的内⻆，，所对的边分别是，， ，已知，则的最⼤值为
（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合条件利⽤余弦定理得，然后利⽤余弦定理和基本不等式求解，然后根据余
所以
，
所以
对于A，由B
，故B 正确；
选项知
，
⼜因为平⾯
平⾯
，
平⾯
， 平⾯平⾯，
所以
平⾯
，
因为
平⾯
，
弦函数的单调性求解即可．
【详解】的内⻆，，所对的边分别是，， ，已知，则，整理得．
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，⼜，故，即的取值范围是.
故选：A
21 世纪以来，中国钢铁⼯业进⼊快速发展阶段，某⼯⼚要加⼯⼀种如图所示的圆锥体容器，圆锥的⾼和
⺟线⻓分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出⼀个正⽅体槽，则可以挖出的正⽅体的最⼤棱⻓为
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，过圆锥的顶点和正⽅体底⾯对⻆线作圆锥的轴截⾯，如图所示时，此时正⽅体的棱
⻓最⻓，再根据图中的⼏何关系即可求出此结果．
【详解】因为圆锥的⾼和⺟线⻓分别为和，则圆锥的底⾯半径为，
过圆锥的顶点和正⽅体底⾯对⻆线作圆锥的轴截⾯，如下图所示：

此时正⽅体的棱⻓最⼤，设正⽅体的棱⻓为，则作垂直地⾯于，则
因为，所以，
即即，所以.
故选：D.
已知平⾯向量、、满⾜， 且对任意实数恒成⽴， 则的最⼩值为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于不等式，我们两边平⽅得到关于实数的不等式，进⽽得到，再结合向量的运算性质得到，最后利⽤绝对值三⻆不等式求解最值即可.
【详解】由，两边平⽅得
⼜，且对任意实数恒成⽴，
即恒成⽴，故，
即，解得，即，且，
⽽，故，
则由绝对值三⻆不等式得，故B 正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题的关键先利⽤对任意实数恒成⽴，求得，再利⽤绝对值三⻆不等式求解最值即可.
、
⼆多选题
对于函数和，下列说法中正确的有（）
【答案】BC
【解析】
，解得
，即为
，即为
零
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴⽅程逐⼀分析每个选项即可.
A.
与
有相同的零点
B.
与
有相同的最⼤值
C.
与
有相同的最⼩正周期
D.
与
的图象有相同的对称轴
【详解】A 选项，令
零点，
令，解得点，
显然零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，的周期均为，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质的对称轴满⾜， 的对称轴满⾜，
显然图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC
已知分别是三个内⻆的对边，下列四个命题中正确的是（）
若，则是锐⻆三⻆形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两⻆和的正切公式结合诱导公式判断 A，由正弦定理化边为⻆结合正弦的⼆倍⻆公式判断 B，由正弦定理化边为⻆，逆⽤两⻆和的正弦公式判断C，根据，结合正弦函数单调性判断D.
【详解】选项A：因为，且是的内⻆，所以
，
所以，
所以都是锐⻆，所以是锐⻆三⻆形，故选项A 正确；
选项B：由及正弦定理可得，即，所以或，所以或，
所以是等腰三⻆形或直⻆三⻆形，故选项B 错误；
选项C：由及正弦定理可得，即 ，
因为是的内⻆，所以，所以是等腰三⻆形，故选项C 正确；选项D：是锐⻆三⻆形，所以，即 ，
则，故选项D 正确；
故选：ACD
如图，正⽅体的棱⻓为 2，，分别是，的中点，点是底⾯内
⼀动点，则下列结论正确的为（）
B. 若
，则
是等腰三⻆形
C. 若
，则
是等腰三⻆形
D.
是锐⻆三⻆形，则
B 选项，连接，由A 知，，⼜，所以，所以四边形即为过，，三点的平⾯截正⽅体所得截⾯图形，
因为，所以四边形为梯形，B 错误；
C 选项，由B 知，，故为直线与所成⻆或其补⻆，连接，则，
所以为等边三⻆形，故，
异⾯直线与所成的⻆的⼤⼩为，C 正确；
D 选项，连接，
因为，平⾯，平⾯，所以平⾯，
⼜，同理可得平⾯，
⼜，平⾯，
所以平⾯平⾯，
故当 在线段上时，平⾯，
所以平⾯，
所以若平⾯，则点的轨迹的⻓度为，D 错误故选：AC
、
三填空题
已知，，则在⽅向上的投影向量坐标为．
【答案】
【解析】
【分析】求出向量的坐标，利⽤投影向量的定义结合平⾯向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】因为，，则，所以，在⽅向上的投影向量为
.
故答案为：.
若，则．
【答案】
【解析】
【分析】根据积化和差公式求解即可.
【详解】因为
，所以，
故答案为：.
已知四边形 ABCD 为平⾏四边形，，，，现将沿直线 BD 翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表⾯积的⽐值为.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利⽤余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是⼀个
【详解】在
中，
，
故
⻓⽅体的六个⾯的对⻆线，利⽤⻓⽅体的性质求外接圆半径，再等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
，即，
则折成的三棱锥中，，，，即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是⼀个⻓⽅体的六个⾯的对⻆线， 设⻓⽅体从同⼀个顶点出发的三条棱⻓分别为 a，b，c
则，解得，
此⻓⽅体外接球是三棱锥的外接球，
设外接球的直径，即，
⼜因为三棱锥⻓⽅体切掉四个⻆，
故三棱锥，
三棱锥四个侧⾯是全等的，
，
设内切球半径为，以内切球球⼼为顶点，把三棱锥分割为以球⼼为顶点，四个⾯为底⾯的四个⼩三棱锥，四个⼩三棱锥体积等于⼤三棱锥的体积，
故，
则三棱锥的内切球与外接球表⾯积的⽐值为.
故答案为：.
【点睛】⽅法定睛：多⾯体与球切、接问题的求解⽅法
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，⼀般过球⼼及多⾯体的特殊点(⼀般为接、切点)或线作截⾯，把空间问题转化为平⾯问题求解．
若球⾯上四点 P、A、B、C 构成的三条线段 PA、PB、PC 两两垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，⼀般把有关元素“补形”成为⼀个球内接⻓⽅体，根据 4R2＝a2＋b2＋c2 求解．
正⽅体的内切球的直径为正⽅体的棱⻓．
球和正⽅体的棱相切时，球的直径为正⽅体的⾯对⻆线⻓．
利⽤平⾯⼏何知识寻找⼏何体中元素间的关系，或只画内切、外接的⼏何体的直观图，确定球⼼的位置，弄清球的半径(直径)与该⼏何体已知量的关系，列⽅程(组)求解．
、
四 解答题
记的内⻆ A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且．
求 B 的⼤⼩；
若，的⾯积为，求的周⻓．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）⽤正弦定理将边化为⻆，再利⽤展开化简即可求解；
如图，在三棱柱中，侧⾯为菱形，边⻓为 2，且，， 是的中点.
求证：平⾯；
若平⾯平⾯，与平⾯所成的⻆为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明⻅解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，连接.利⽤三⻆形中位线的性质可证，即可得证
（2）由⾯积可得
【⼩问 1 详解】
由题意得
，由余弦定理可得
，
，解⽅程即可求出，进⽽可求周⻓.
因为
，
所以
，
得
【⼩问 2 详解】
，
得，因为
，所以．
由
，得．
由余弦定理
，得，
得
，
得
，
所以
的周⻓为
．
.
（2）为正三⻆形，所以，再由平⾯平⾯，可得平⾯，利
⽤割补法求出四棱锥的体积.
【详解】（1）证明：连接，设，连接.
因为三棱柱的侧⾯为平⾏四边形，所以为的中点.在中，因为是的中点，
所以.
因为平⾯，平⾯，所以平⾯.
（2）因 为正三⻆形，所以，，
因为平⾯平⾯，平⾯平⾯，所以平⾯，
所以为与平⾯所成的⻆，所以，所以，
因为，为中点，
所以.
所以
.
【点睛】本题考查线⾯平⾏的判定，四棱锥的体积的计算问题，属于基础题.
已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为.
求的解析式和函数的单调递增区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸⻓为原来的 2 倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的⽅程在上只有⼀个解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；的单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤正余弦的⼆倍⻆公式、两⻆和的正弦公式化简；根据的最⼩正周期为求出 可得；再求单调递增区间即可；
（2）利⽤图象平移可得，令，转化为在上只有⼀个解，结合图象可得答案.
【⼩问 1 详解】
，
，因为图象的相邻对称轴之间的距离为，
所以
的最⼩正周期为，
所以
，得，所以
，
令
，
则
，所以
的单调递增区间为；
【⼩问 2 详解】
由（1）知，
将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标伸⻓为原来的 2 倍，得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象.
令，，则，所以，
因为在上只有⼀个解，由的图象（如图）可得，或
，所以的取值范围是.
如图，已知三棱台，底⾯是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形，体积为，平⾯平⾯，且.
证明：平⾯；
求点到⾯的距离；
在线段上是否存在点，使得⼆⾯⻆的⼤⼩为，若存在，求出的⻓，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利⽤⾯⾯垂直的性质推理即得.
延⻓交于⼀点，根据可求得，利⽤等体积法构造⽅程求解.
根据线⾯垂直和⾯⾯垂直性质可作出⼆⾯⻆的平⾯⻆，设，根据⼏何关系可表示出，由⼆⾯⻆⼤⼩可构造⽅程求得 ，进⽽得到结果.
【⼩问 1 详解】
在三棱台中，平⾯平⾯，，
⽽平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯.
【⼩问 2 详解】
由棱台性质知：延⻓交于⼀点，
由， 得， 点到平⾯的距离为到平⾯距离的 2 倍， 则
，
于是，由平⾯，得为点到平⾯ 距离，
⼜，则是的中点，，即为正三⻆形，为正三⻆形，设，则，
，解得，
，由平⾯，得，，
，设点到平⾯的距离为，
由，得，解得：.
即点到平⾯的距离为.
【⼩问 3 详解】
由平⾯，平⾯，得平⾯平⾯，取中点，连接，
在正中，，⽽平⾯平⾯，则平⾯，⽽平⾯，则，⼜平⾯，则平⾯平⾯，作于，
平⾯平⾯，则平⾯，，⽽平⾯，则，作于，连接，，平⾯，则平⾯，
⽽平⾯，于是，即⼆⾯⻆的平⾯⻆，
设，由（2）知：，，由，得，，
由，得，
若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为，
则，解得，
，
所以存在满⾜题意的点，.
【点睛】关键点点睛：本题考查⽴体⼏何中的垂直关系的证明、点⾯距离的求解、⼆⾯⻆问题的求解；求解⼆⾯⻆问题的关键是能够利⽤三垂线法，作出⼆⾯⻆的平⾯⻆，进⽽根据⼏何关系构造关于⻓度的⽅程，从⽽求得结果.
如图，中，，，点在线段上，为等边三⻆形.
若，，求线段的⻓度;
若，求线段的最⼤值;
若平分，求与内切圆半径之⽐的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）⽤向量表示,再根据已知条件求即可；

【⼩问 2 详解】
由（1）可知，
所以,
设,且为等边三⻆形，所以
即
，
，
故，
且，
所以当时，，
（2）由（1）可知
量的数量积运算即可；
（3）根据⻆平线的性质得出
，通过向量运算得
，在，
，两边同时平⽅，由向
中，利⽤余弦定理得，
再利⽤等⾯积法得到
，最后根据
的范围即可求出结果.
【⼩问 1 详解】
因为
,,
所以
,
即
,
所以
,
所以
.

所以.
【⼩问 3 详解】
因为平分,
所以由⻆平分线定理得
,即
,
故,
设
，
，
的内切圆半径分别为,
在中
,则
，解得
，
因为
,
所以
,
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得.
⼜因为
,
,
所以
，
令
，则，
因为
，所以
，
则，故，，
即，故,
所以与的内切圆半径之⽐的范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了平⾯向量的基本定理、向量模的运算以及通过余弦定理、⾯积公式解三⻆形，第三问解题的关键由⻆平线的性质得出，在，中，利⽤余弦定理
得，再利⽤等⾯积法得到，最后根据的范围即可求出结果，计算⽐较复杂.