四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（共8题，每题5分，符合题意的选项只有一个）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，，
所以.
2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案.
【详解】设扇形的半径为r，则，解得，
所以扇形面积.
故选：B
3. 中，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出角的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】在中，若，则或，
因为，因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果.
详解】由可得，解得；
则.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的定义域，奇偶性与特殊值判断函数图像.
【详解】已知函数，定义域为，排除A，D选项，
令，，
故函数为奇函数关于原点对称，
当时，，排除C选项.
故选：B
6. 已知 则的值等于（ ）
A. -2B. 4C. 2D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式直接代入求解.
【详解】因为
所以.
故选：B
7 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解.
【详解】
，
所以.又因为，
，所以，.
故选：B
8. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解.
【详解】函数的定义域为，
由，得，
即，
则，由于，故，
令，则存在x，使得，
转化为存在，使得有解，
由于的对称轴为，则在上单调递增，
故，
故，结合，可得.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】应用特殊值，判断A、C，根据，的单调性判断B、D.
【详解】当时，则，而，又，
∴A，C不正确；
∵，都是上单调递增函数，
∴B，D是正确的.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若最小正周期为，则
B. 若，则是的对称中心
C. 若在上单调递增，则
D. 若在上恰有2个零点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求出可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以是的对称轴，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，且时，，则（ ）
A.
B.
C. 的取值范围为
D. 函数的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D.
【详解】作出函数的图象，
由图可知，若，
则，A正确；
因为，可得，
所以，可得，B错误；
依题意，，得，
则，且当接近时，接近，接近4，
此时，
且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，
则的取值范围为，C正确；
函数，，
设，则，
则，，
所以函数值域为，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若幂函数是偶函数，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的知识来求得的值.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或，
当时，是奇函数，不符合题意.
当时，是偶函数，符合题意.
故答案为：
13. 函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【详解】由，得，
所以，
所以，
所以函数的定义域是．
14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案.
【详解】连接OC，设，
在中，，则，
因为为矩形，所以，
又，则，
则，
所以矩形面积
，
因为，所以，
所以当时，即时，有最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知角，的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交于A，B两点，且，已知点．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【小问1详解】
由知，又，故
所以同理.
【小问2详解】
16. 已知函数．
（1）化简；
（2）已知，都是锐角，，，求的值．
【答案】（1）且
（2）
【解析】
【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可；
（2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由题意，根据诱导公式得：
函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足.
【小问2详解】
因为锐角，已知，所以，
因为，都是锐角，所以，
又因为，所以在第二象限，
即，所以.
所以，
将数据代入得：.
17. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知在上单调递增，求的取值范围；
（3）若，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；
（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
【小问2详解】
由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值，
在上的值域为.
18. 设函数．
（1）求证：为定值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，且满足，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，可得解析式，代入即可得证.
（2）由（1）及条件可得，根据指数幂的运算性质，结合基本不等式，即可得答案.
（3）根据奇偶性的定义及复合函数的单调性的求法，可得的奇偶性和单调性，结合条件及的定义域，即可得答案.
【小问1详解】
证明：令，解得，即的定义域为,
由，得，
所以.
【小问2详解】
令，根据反比例函数性质可得在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的性质可得在上单调递增，
由（1）得，，且，
所以，则，即，
因为，得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【小问3详解】
由题意，
令，解得，即的定义域为，关于原点对称，
则，
所以为奇函数，
由（2）得在上单调递增，
由，得，
所以，解得，故实数m的取值范围.
19. 已知函数的一条对称轴为．
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入解析式由三角函数值计算可得结果；
（2）将已知条件化简可得，将两式平方相加再由两角和的正弦公式计算可得结果；
（3）由不等式恒成立利用换元法可得不等式对任意恒成立，再利用基本不等式计算可得实数a的取值范围．
【小问1详解】
依题意，即，
又，所以，
因此可得，即.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
；
联立，两式平方可得；
相加可得，即，
所以；
【小问3详解】
不等式，即为；
即，所以；
因此，
令，由可得，因此，
即不等式对任意恒成立；
即可知在恒成立，
易知，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立；
因此，所以即可，
可得；
即实数a的取值范围为.