四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：B.
3. 若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
4. 若一扇形的面积和半径均为，则其圆心角的弧度数为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式计算可得.
【详解】设圆心角的弧度数为，依题意可得，解得，
即其圆心角的弧度数为.
故选：A
5. 若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的性质得到关于的方程，从而得解.
【详解】易知函数的定义域为，所以是定义域在上的偶函数，
则，即对恒成立，
所以，
由于不恒为，故，从而得，
经检验，满足题意.
故选：A.
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断，根据同角的三角函数关系求得的值，再根据诱导公式，即可求得答案.
【详解】因为，故，
则由，可得，
故，
故选：D
7. 函数的定义域为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】求解不等式即可.
【详解】由题意，得，
所以，，得，，
故所求函数的定义城为，，
故选：C.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.
【详解】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 ，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.
【详解】对于A：因为所以
即，所以A正确;
对于B、C：因为，且，
所以，即，所以所以B错误，C正确;
对于D：联立，解得所以，所以D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称
C. 不等式无解D. 的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.
【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误;
对于选项B:关于对称，故B正确；
对于选项C:有解，故C错误；
对于选项D:，若，则，
若则，
当且仅当，即时，原式取等，故D正确.
故选:BD.
11. 已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出在上的图象，由方程有五个互不相等的实数根，结合图象可得 ，从而判断A；由对数的性质可得，从而有，结合基本不等式即可判断B；由题意可得，结合，即可判断C；由余弦函数的对称性可得，，代入得，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得的范围，从而判断D.
【详解】
作出在上的图象，如图所示：
对于A，因为，
又因为方程有五个互不相等的实数根，所以，故A错误；
对于B，由题意可得，且有
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立， 故B正确；
对于C，由题意可得，
由A可知，所以， 故C正确；
对于D，由图可知：与关于对称，与关于对称，
且，， 所以，
所以
因为，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，即， 故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：
这道题的关键是能够准确作出在上的图象，再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性，即可求解问题.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 函数的图象过定点_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用求得正确答案.
【详解】当时，，
所以定点为.
故答案为：
13. 已知，且“”是“”充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
14. 已知函数，则不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由解析式可判断得在上单调递减，然后结合题意和单调性定义列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，单调递减，且；
当时，，单调递减，且；
故可知在上单调递减，
因此．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合.
（1）求集合；
（2）设集合，且，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得；
（2）由可得，列出不等式组，解之即得.
【小问1详解】
，则，
又，则；
【小问2详解】
，且，
，解得，
实数的取值范围为：.
16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值；
（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.
【小问1详解】
角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点，则，
则；
【小问2详解】
由（1）得，则，
则
17. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.
（2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集.
【小问1详解】
由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
【小问2详解】
当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
18. 科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的.
（1）现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？
（2）根据（1）中符合公司要求函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？
【答案】（1）①不符合，②不符合，③符合，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；
（2）由，解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，
且对任意恒有且.
①对于函数在上单调递增，
当时，不符合要求；
②对于函数在上单调递减，不符合要求；
③对于函数，在上单调递增，
且当时，
，
因为
而所以当时，恒成立，
因此为符合公司要求的函数模型.
【小问2详解】
由得，
所以,
所以公司的投资收益至少为万元.
19. 已知函数．
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若方程有实根，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解；
（3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解.
【小问1详解】
当时，，
令，因为，所以，
所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，所以.
所以时，在区间上的值域为.
【小问2详解】
由（1）知当令，，，
则，即有实数根，此时实数根大于零，
所以可得，解得：.
所以方程有实根，实数m的取值范围为.
【小问3详解】
由题意得，
若对任意的，总存在，使得，可得,
由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，
所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，
所以当时，有最小值，
由（2）知当令，，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在时均单调递增，
所以函数在时单调递增，所以，
所以，即，
则实数m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题.