2022-2023学年四川省泸县第五中学高一下学期开学考试数学试题(解析版)
展开2022-2023学年四川省泸县第五中学高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则集合等于( )
A.; B.; C.; D..
【答案】D
【分析】求出集合,根据交集含义即可得到答案.
【详解】当时,;当时,;
当时,,故,故,
故选:D.
2.下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的是( )
A. B. C.y=|x| D.
【答案】D
【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.
【详解】,都是奇函数,排除A,B.
,都是偶函数,在上递增,在递减,
故选:D.
3.函数的值域是( )
A.(0,+∞) B.(0,1) C. D.
【答案】A
【分析】分类讨论,结合二次函数和反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】当时,,此时函数是单调递减,所以有,显然当时,
,因此当时,函数的值域为;
当时,,二次函数的对称轴为:,
因此当时,函数有最小值,所以此时函数的值域为:,
综上所述:函数的值域为:(0,+∞).
故选:A
【点睛】本题考查了求分段函数的值域,考查了二次函数和反比例函数的单调性,属于基础题.
4.( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由诱导公式可得答案.
【详解】
.
故选:C
5.设、,则“且”是“”的条件
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要 D.非充分非必要
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】因为且,由不等式的性质,可得,故是充分条件,
又当a=1,b=7时,满足a+b>4,但不满足且,故不是必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查了充分必要条件的定义,考查不等式问题,是一道基础题.
6.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为,则经过一定时间t分钟后的温度T满足,h称为半衰期,其中是环境温度.若℃,现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟,那么水温从75℃降至45℃大约还需要( )(参考数据:,)
A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟
【答案】C
【分析】由题意可得,代入,得,两边取常用对数得:,再利用对数的运算性质即可求出的值.
【详解】解:根据题意得:,
,
,
,
,
两边取常用对数得:,
,
水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟,
故选:C.
7.已知偶函数在区间上单调递减,则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由条件可得函数在上单调递增,所以自变量的绝对值越大函数值越大,再根据,可得,进而得出结论.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减,
所以函数在上单调递增,故自变量的绝对值越大,对应的函数值越大,
又,所以,
故选:.
8.对任意正数x,y,不等式x(x+y)≤a(x2+y2)恒成立,则实数a的最小值为( )
A. B.﹣1 C.+1 D.
【答案】D
【分析】将已知不等式转化为(a﹣1)﹣+a≥0对于一切正数x,y恒成立,令t=,f(t)=(a﹣1)t2﹣t+a,由二次函数的图象与性质可得关于a的不等式组,解之即可得答案.
【详解】∵x>0,y>0,
∴x(x+y)≤a(x2+y2)⇔xy≤(a﹣1)x2+ay2⇔,
令,f(t)=(a﹣1)t2﹣t+a,
依题意,,即,解得a≥.
∴实数a的最小值为.
故选:D.
二、多选题
9.下列说法不正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.
C.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
D.若,则与的终边相同
【答案】ACD
【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断.
【详解】对于选项A,三角形内角范围是,其中90°不属于象限角,故A错误;
对于选项B,大小为2的角终边在第二象限,故cos2<0,故B正确;
对于选项C,1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角,故C错误;
对于选项D,若,则α和β的终边相同或关于y轴对称,故D错误.
故选:ACD.
10.已知定义在上的函数在区间上是增函数,则( )
A.的最小正周期为
B.满足条件的整数的最大值为3
C.函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像,则的值
D.函数在上有无数个零点
【答案】BC
【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围,即可判断B,再求出的解析式,即可得到其最小正周期,即可判断A,根据三角函数的平移变换得到的解析式,再根据奇偶性求出,即可判断C,最后利用特殊值判断D.
【详解】解:函数在区间上是增函数,
,,所以整数的最大值为,故B正确;
因为为偶函数,函数图象关于轴对称,
所以,所以的最小正周期,故A错误;
将函数的图像向右平移单位得到,
因为为奇函数,所以,解得,
又,所以当时,故C正确;
当时,由,所以,所以,
则在上无零点,故D错误;
故选:BC.
11.若,,且,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为 B.的最小值为2
C.的最小值是 D.的最小值为4
【答案】ABD
【分析】直接根据基本不等式即可判断A;结合即可判断B;由题知,,进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C;根据,结合基本不等式求解即可判断D.
【详解】解:对于A选项,因为,,,所以,,当且仅当时等号成立,故A选项正确;
对于B选项,由不等式得,所以当且仅当时等号成立,故的最小值为,故B选项正确;
对于C选项,由得,所以,当且仅当,即时等号成立,此时与矛盾,故取不到最小值,故C选项错误;
对于D选项,由题知,当且仅当时等号成立,故的最小值为4,D选项正确.
故选:ABD
12.已知为R上的偶函数,且是奇函数,则( )
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.的周期为 D.的周期为
【答案】AD
【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质,分析函数的周期性和对称性,由此判断各选项.
【详解】∵ 为偶函数
∴ 图象关于轴对称,
又∵ 是奇函数 ∴
∴ ,
∴
∴ 函数的图象关于轴对称,为周期函数且周期为,
故选AD.
三、填空题
13.已知,则______.
【答案】
【分析】由已知等式,可得,再根据同角三角函数的商数关系即可得的值.
【详解】解:,
整理得,.
故答案为:.
14.若,则________.
【答案】18
【分析】对数式化为指数式,再代入计算即可.
【详解】,.
,.
.
故答案为:18.
15.已知函数与函数的图像在恰好有一个交点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】联立方程分离之后解出,分离变量转化为函数交点问题,借助对勾函数的单调性求解即可.
【详解】联立得,
解出,
令,原式整理得,可变形为
这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点.
在上单调递减,在上单调递增;
分别计算的值为,易得:
故答案为:.
16.已知函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用复合函数的单调性,结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】令,则开口向上,对称轴为,
因为在上单调递减,
所以在上只有一个单调区间,则在上单调递增,
故,即,
又由对数函数的定义域可知在上恒成立,则,
即,故,
又因为在上单调递减,在上单调递增,
所以在上单调递减,故,
综上:,即.
故答案为:.
四、解答题
17.已知集合.
(1)求;
(2)若集合,且,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求解一元二次不等式,再求补集;
(2)由可分类讨论与时画图分析即可.
【详解】(1)∵
∴
(2)∵
∴①当时,,解得:,
②当时,即:,
∴或
∴
∴综述:.
18.已知,.
(1)求的值;
(2)若的值.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)根据同角三角函数关系,,转化成,代入平方关系中,解一元二次方程,即可求解.
(2)由诱导公式,进行化简,再由齐次式求值.
【详解】(1)因为,所以.
又因为,所以.
因为,所以.
(2).
【点睛】本题考查同角三角函数关系,已知切求弦问题,和齐次式求值问题,需注意角所在象限,属于基础题.
19.函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式和单调增区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,求函数在上的最值并求出相应的值.
【答案】(1),增区间,(2)时,取最小值为-2;当时,取最大值为1.
【解析】(1)根据图像计算,得到,代入点计算得到解析式,再计算单调区间得到答案.
(2)通过平移得到,再计算得到最值.
【详解】(1)由图知:,∴,∴,∵,∴,∴,
∵由图知过,∴,
∴,∴,,∴,,
∵,∴,∴.
∵,,∴,,
∴增区间,.
(2),
∵,∴,
∴当,即时,取最小值为-2,
当,即时,取最大值为1.
【点睛】本题考查了三角函数的图像识别,三角函数的单调性,最值,意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.
20.某公司生产一种儿童玩具,每年的玩具起步生产量为1万件;经过市场调研,生产该玩具需投入年固定成本万元,每生产万件,需另投人流动成本万元,在年产量不足万件时,;在年产量不小于万件时,.每件玩具售价元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;(注:年利润年销售收入固定成本流动成本)
(2)年产量为多少万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1);
(2)当年产量为万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大,最大利润为万元.
【分析】(1)分、两种情况讨论,根据年利润年销售收入固定成本流动成本可得出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;
(2)利用二次函数求出函数在时的最大值,利用基本不等式求出函数在时的最大值,比较大小后可得出结论.
【详解】(1)解:因为每件玩具售价为元,则万件玩具销售收入为万元.
当时,,
当时,,
故;
(2)解:当时,,
此时,当时,取最大值,最大值为万元;
当时,,当且仅当,即时,取等号.
此时,当时,取得最大值,最大值为万元.
因为,所以当年产量为万件时,该公司这款玩具的生产中所获利润最大,
最大利润为万元.
21.已知为偶函数,为奇函数,且.
(1)求,的解析式;
(2)若对任意的,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)根据奇偶函数建立方程,解方程即可得答案;
(2)由题知,进而得,再解不等式即可得答案.
【详解】(1)解:因为为偶函数,为奇函数,且有,
所以,
所以,,解得,.
所以,,.
(2)解:因为,当且仅当时等号成立,
所以.
所以,对任意的,恒成立,即,
则,即,解得,
所以,的取值范围.
22.定义:若对定义域内任意x,都有(a为正常数),则称函数为“a距”增函数.
(1)若,(0,),试判断是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,R是“a距”增函数,求a的取值范围;
(3)若,(﹣1,),其中kR,且为“2距”增函数,求的最小值.
【答案】(1)见解析; (2); (3).
【分析】(1)利用“1距”增函数的定义证明即可;(2)由“a距”增函数的定义得到在上恒成立,求出a的取值范围即可;(3)由为“2距”增函数可得到在恒成立,从而得到恒成立,分类讨论可得到的取值范围,再由,可讨论出的最小值.
【详解】(1)任意,,
因为,, 所以,所以,即是“1距”增函数.
(2).
因为是“距”增函数,所以恒成立,
因为,所以在上恒成立,
所以,解得,因为,所以.
(3)因为,,且为“2距”增函数,
所以时,恒成立,
即时,恒成立,
所以,
当时,,即恒成立,
所以, 得;
当时,,
得恒成立,
所以,得,
综上所述,得.
又,
因为,所以,
当时,若,取最小值为;
当时,若,取最小值.
因为在R上是单调递增函数,
所以当,的最小值为;当时的最小值为,
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识,考查了函数的单调性与最值,考查了恒成立问题,考查了分类讨论思想的运用,属于中档题.
四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题: 这是一份四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题,共25页。
四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析): 这是一份四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
四川省泸县第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析: 这是一份四川省泸县第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析,共17页。试卷主要包含了向量=,已知函数,则,在中,,,则,在中,,,,则,已知,则的值为,已知,且,,则等内容,欢迎下载使用。