2022-2023学年四川省泸县第五中学高一下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸县第五中学高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合等于（    ）

A．； B．； C．； D．．

【答案】D

【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案.

【详解】当时，；当时，；

当时，，故，故，

故选：D.

2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A．  B． C．y=|x| D．

【答案】D

【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.

【详解】，都是奇函数，排除A，B.

，都是偶函数，在上递增，在递减，

故选：D．

3．函数的值域是（   ）

A．(0，＋∞) B．(0，1) C． D．

【答案】A

【分析】分类讨论，结合二次函数和反比例函数的性质进行求解即可.

【详解】当时，，此时函数是单调递减，所以有，显然当时，

，因此当时，函数的值域为；

当时，，二次函数的对称轴为：，

因此当时，函数有最小值，所以此时函数的值域为：，

综上所述：函数的值域为：(0，＋∞).

故选：A

【点睛】本题考查了求分段函数的值域，考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式可得答案.

【详解】

 .

故选：C

5．设、，则“且”是“”的条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．非充分非必要

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．

【详解】因为且，由不等式的性质，可得，故是充分条件，

又当a＝1，b＝7时，满足a+b>4，但不满足且，故不是必要条件，

故选A．

【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．

6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（    ）（参考数据：，）

A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟

【答案】C

【分析】由题意可得，代入，得，两边取常用对数得：，再利用对数的运算性质即可求出的值．

【详解】解：根据题意得：，

，

，

，

，

两边取常用对数得：，

，

水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，

故选：C．

7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.

【详解】因为偶函数在区间上单调递减，

所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，

又，所以，

故选：.

8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

A． B．﹣1 C．+1 D．

【答案】D

【分析】将已知不等式转化为（a﹣1）﹣+a≥0对于一切正数x，y恒成立，令t＝，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，由二次函数的图象与性质可得关于a的不等式组，解之即可得答案.

【详解】∵x＞0，y＞0，

∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔，

令，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，

依题意，，即，解得a≥.

∴实数a的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法不正确的是(    )

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．

C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角

D．若，则与的终边相同

【答案】ACD

【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．

【详解】对于选项A，三角形内角范围是，其中90°不属于象限角，故A错误；

对于选项B，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B正确；

对于选项C，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C错误；

对于选项D，若，则α和β的终边相同或关于y轴对称，故D错误．

故选：ACD．

10．已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．满足条件的整数的最大值为3

C．函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值

D．函数在上有无数个零点

【答案】BC

【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围，即可判断B，再求出的解析式，即可得到其最小正周期，即可判断A，根据三角函数的平移变换得到的解析式，再根据奇偶性求出，即可判断C，最后利用特殊值判断D.

【详解】解：函数在区间上是增函数，

，，所以整数的最大值为，故B正确；

因为为偶函数，函数图象关于轴对称，

所以，所以的最小正周期，故A错误；

将函数的图像向右平移单位得到，

因为为奇函数，所以，解得，

又，所以当时，故C正确；

当时，由，所以，所以，

则在上无零点，故D错误；

故选：BC．

11．若，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为2

C．的最小值是 D．的最小值为4

【答案】ABD

【分析】直接根据基本不等式即可判断A；结合即可判断B；由题知，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C；根据，结合基本不等式求解即可判断D.

【详解】解：对于A选项，因为，，，所以，，当且仅当时等号成立，故A选项正确；

对于B选项，由不等式得，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B选项正确；

对于C选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C选项错误；

对于D选项，由题知，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，D选项正确.

故选：ABD

12．已知为R上的偶函数，且是奇函数，则（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．的周期为 D．的周期为

【答案】AD

【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项.

【详解】∵  为偶函数

∴  图象关于轴对称，

又∵  是奇函数  ∴  

∴   ，

∴  

∴ 函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为，

故选AD.

三、填空题

13．已知，则______．

【答案】

【分析】由已知等式，可得，再根据同角三角函数的商数关系即可得的值.

【详解】解：，

整理得，.

故答案为：.

14．若，则________．

【答案】18

【分析】对数式化为指数式，再代入计算即可.

【详解】，.

,.

.

故答案为：18.

15．已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】联立方程分离之后解出，分离变量转化为函数交点问题，借助对勾函数的单调性求解即可.

【详解】联立得，

解出，

令，原式整理得，可变形为

这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点.

在上单调递减，在上单调递增；

分别计算的值为，易得：

故答案为：.

16．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.

【详解】令，则开口向上，对称轴为，

因为在上单调递减，

所以在上只有一个单调区间，则在上单调递增，

故，即，

又由对数函数的定义域可知在上恒成立，则，

即，故，

又因为在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，故，

综上：，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；

（2）由可分类讨论与时画图分析即可.

【详解】（1）∵

∴

（2）∵

∴①当时，，解得：，

②当时，即：，

∴或

∴

∴综述：.

18．已知，.

（1）求的值;

（2）若的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据同角三角函数关系，，转化成，代入平方关系中，解一元二次方程，即可求解.

（2）由诱导公式，进行化简，再由齐次式求值.

【详解】（1）因为，所以.

又因为，所以.

因为，所以.

（2）.

【点睛】本题考查同角三角函数关系，已知切求弦问题，和齐次式求值问题，需注意角所在象限，属于基础题.

19．函数的图象如图所示.

（1）求函数的解析式和单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．

【答案】（1），增区间，（2）时，取最小值为-2；当时，取最大值为1.

【解析】（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算单调区间得到答案.

（2）通过平移得到，再计算得到最值.

【详解】（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，∴，

∵由图知过，∴，

∴，∴，，∴，，

∵，∴，∴.

∵，，∴，，

∴增区间，.

（2），

∵，∴，

∴当，即时，取最小值为-2，

当，即时，取最大值为1.

【点睛】本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.

20．某公司生产一种儿童玩具，每年的玩具起步生产量为1万件；经过市场调研，生产该玩具需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投人流动成本万元，在年产量不足万件时，；在年产量不小于万件时，.每件玩具售价元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）

(2)年产量为多少万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，最大利润为万元.

【分析】（1）分、两种情况讨论，根据年利润年销售收入固定成本流动成本可得出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（2）利用二次函数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出函数在时的最大值，比较大小后可得出结论.

【详解】（1）解：因为每件玩具售价为元，则万件玩具销售收入为万元.

当时，，

当时，，

故；

（2）解：当时，，

此时，当时，取最大值，最大值为万元；

当时，，当且仅当，即时，取等号.

此时，当时，取得最大值，最大值为万元.

因为，所以当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，

最大利润为万元.

21．已知为偶函数，为奇函数，且.

(1)求，的解析式；

(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；

（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：因为为偶函数，为奇函数，且有，

所以，

所以，，解得，.

所以，，.

（2）解：因为，当且仅当时等号成立，

所以.

所以，对任意的，恒成立，即，

则，即，解得，

所以，的取值范围.

22．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．

（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；

（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．

【答案】（1）见解析； （2）； （3）.

【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．

【详解】（1）任意,,

因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．

（2）.

因为是“距”增函数，所以恒成立，

因为,所以在上恒成立，

所以，解得，因为,所以.

（3）因为，，且为“2距”增函数，

所以时，恒成立，

即时，恒成立，

所以，

当时，，即恒成立，

所以, 得;

当时，，

得恒成立，

所以,得,

综上所述，得.

又，

因为,所以，

当时，若，取最小值为；

当时，若，取最小值.

因为在R上是单调递增函数，

所以当，的最小值为；当时的最小值为，

即 .

【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．