湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围为
A.（-1，3）B.C.（-3，1）D.
【答案】B
【解析】因为，，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数a的取值范围为.
2. 若复数满足，则的虚部为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由已知，虚部为.
3.已知点，，直线：与线段有公共点，则实数m的取值范围为
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意知直线过定点，
易求的斜率，的斜率，
直线的斜率，所以或，即或.
4.设函数在定义域内可导，图象如下图所示，则导函数的图象可能是
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由图象可知，函数在上是减函数，此时，故排除A，C；
当时，函数的图象是先增，再减，最后再增，
所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B.
5.设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，，则等于
A.49B.50C.51D.52
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，因为，，可得解得，，
所以，所以，所以.
6.记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则
A.1B.C.D.3
【答案】A
【解析】由题可知：，所以.
又因为的图象关于点中心对称，所以，且.
所以，，所以.所以.所以.
7.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，
甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为，
设事件A为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，∴.
8.已知，，（e为自然对数的底数），则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】对两边取对数，，
而在上单调递增，
∴，；
又，
∴，
∴.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知，，且，则
A.B.C.D.
【答案】ABD
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
由已知得，，所以，所以，故B正确；
，当且仅当时，等号成立，故C错误；
，则，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
10.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是
A.若，则直线与直线的夹角为
B.三棱锥体积的最大值为
C.存在，使得平面
D.若，则三棱锥外接球的表面积为8π
【答案】ABC
【解析】对A，时，M，N分别为，中点，此时，因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即，
又因为，所以，
所以直线与直线的夹角为，故A正确；
对B，过M作于Q，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，即三棱锥的高为，
，
，
当时，，故B正确；
对C，在正方体中，，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，平面，所以平面平面，
当时，N是的中点，此时平面，所以平面，故C正确；
对D，当时，，故Q为的中点，
又N为的中点，所以，，
所以Q到A，B，M，N的距离都为1，
即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误.
11.已知抛物线E：的焦点为F，准线交x轴于点C，直线过C且交E于不同的A，B两点，且，则下列命题正确的有
A.直线的斜率B.若，则
C.若，则D.存在使得平分
【答案】ACD
【解析】由题可得，.设的方程为：，
联立消去x得.，即，
设，，所以，.
A选项，由题可得或，则，故A正确；
B选项，由抛物线定义可知：，
则，
得.故B错误；
C选项，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，因，则，
又，则.故C正确；
选项D，如图，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为N，M，
则，
又，所以.
注意到：，
则.
则，即存在满足题意，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为________.
【答案】
【解析】 由及正弦定理可得，，
由知，故，所以，即，
所以，，
所以.
13.若函数在上无极值点，则实数a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】由，得，
因为在上无极值点，所以在内单调，
因为当时，，所以在恒成立，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数a的取值范围为 .
14.像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数.
【答案】510
【解析】 方法一：通过列举特例发现数字0只能出现在数字中间，且0的左右两边顺序是固定先减后增的，考虑0的左右两边选取了哪些数的情况即可，比如0的左边选取了数字1，3，5则符合条件的数字只有5310246789，故共有个数，
方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能，去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况，共个数 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知定义在上的函数
（1）若，，求出曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值 .
【解析】（1），时，，
所以，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为为增函数，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值为 .
16.平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，M为斜边的中点.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）取的中点D，连接，，如图，
又M为的中点，
∴，由，则，
又为以为斜边的等腰直角三角形，∴，，
∴，
又，平面，
∴平面，又平面，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，平面，故.
故以D为原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设，
∴，，，，
则，，，
若存在N使得平面平面，且，，
则，解得，，
则，，
设为平面的法向量，则
令，即，
设是平面的法向量，则
令，则，
∴，可得，
∴线段上存在点N使得平面平面，此时 .
17.已知数列的前n项和为，公差不为0的等差数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和.
【解析】
（1）数列的前n项和为，①，
当时，解得.
当时，②，
①-②得，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，解得.
又公差d不为0的等差数列满足，，
所以，解得或0（舍去），
所以，则，
所以①，
②，
①-②得，
所以，整理得，
故 .
18.已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.
（1）求概率，；
（2）设随机变量X表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求X的分布列和数学期望；
（3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
【解析】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，.
，
.
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为1，0，-1.
，
，
.
X的概率分布为：
所以的数学期望.
（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.
记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，
，
，
，
所以.
所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方日标两次的概率为 .
19.双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线，交于点P.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：点P在定直线h上；
（3）连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切.
【解析】（1）由题意得，所以，，
又因为双曲线过点，代入解得，
所以双曲线C的方程为.
（2），所以，，，
设：，
联立得，
设，，所以，，
：，：，
联立
解得，
因为，代入得.
所以点在定直线：上.
（3）由（2）知，
：，
所以，
，
所以的中点，
上述计算过程中注意到，
所以，
所以，即，
所以点在以为直径的圆上，
另一方面，所以，
所以以为直径的圆与直线相切子F点 .-1
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