广东省东莞市石龙中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市石龙中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 命题人：王柳清 审题人：刘苏苏
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．
1. 设函数是函数的导函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦函数的导数公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B.
2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A. 有2个极值点B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值D. 上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【详解】由导函数的图象可知，
当时，，仅时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有一个极值大点，无极小值点，
所以有极大值，没有极小值，
故ABD错误，C正确.
故选：C.
3. 甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，
其他人听不同的讲座，方法数有种，
所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种.
故选：D.
4. 已知函数，则单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为且，
令，解得，所以单调递增区间是.
故选：B
5. 若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第25个“单重数”是（ ）
A. 166B. 171C. 181D. 188
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分2种情况求出200以内的“单重数”的个数为27，据此分析其中最大的“单重数”，即可得答案．
【详解】在符合条件的三位数中，有两个1且1在百位的有个.
1在首位但不是重复数字的有100，122，133，144，155，166，177，188，199，共9个，
则200以内的“单重数”有18+9=27个，
其中最大的为199，其次为191，188,则从小到大排列第25个“单重数”是188.
故选：D
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及合情推理的运用，关键是理解“单重数”的定义，属于基础题
6. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值．
【详解】函数，求导得，
在处的切线斜率为，
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
7. 已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】，则，故，
因为函数在上无极值，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则．
综上，．
故选：．
8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，条件可转化为恰有两个不同的实数解，画函数与函数的图象，观察图象可得结论.
【详解】由题可知恰有两个不同的实数解，即恰有两个不同的实数解.
令，则，
又，所以在上单调递增，
所以函数的值域为，
所以恰有两个不同的实数解.
所以函数与函数的图象有且仅有两个交点，
设，则，
令，解得，在上单调递增，
令，解得，在单调递减，
且，
当时，，当时，，
当时，，
作出函数和的大致图象如图，
由图象可知，当时，恰有两个不同的实数解，
即的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将条件转化为方程恰有两个不同的实数解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由图像即可求f(3)，可判断A；根据l过(3，1)可求，可判断B；根据f(3)可计算g(3)，可判断C；根据可求，可判断D.
【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值
D. 在区间上有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【详解】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
11. 设，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若表示正数的整数部分，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可得A正确；令可得B错误；令，再由偶数项的和可得C正确；由二项式定理的整除可得D正确.
详解】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令，可得，故B错误；
对于C，令，可得，
所以，
所以，所以，故C正确；
对于D，
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则_______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可.
【详解】因，
由可得，
故.
故答案为：6.
13. 某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有______种．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先求出从门课程中至多选门至少选门课程的所有选法，再求出所选课程都是科技类课程的选法，前者减去后者可得结论.
【详解】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有，
学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有，
所以满足条件的选法有（种）.
故答案：.
14. 已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出范围.
【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点，
则当时，直线与射线有一个交点，
当时，直线与函数有2个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图，
令直线与图象相切的切点为，由求导得：，
则，解得，即直线与图象相切时，，
因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点，
由，解得，由，得，
即，因此，函数在上递减，
当时，，所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数求出直线与图象相切的值，结合图形求出方程有3个解的范围是求解的关键.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分、第16题15分、第17题15分、第18题17分、第19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处有极值2.
（1）求，的值：
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）对求导，再利用极值的定义得到与，从而列式即可得解；
（2）利用导数判断的单调性，再利用的单调性可求得其最大值，从而得解.
【小问1详解】
因为函数在处有极值，且，
所以，解得，
故.
【小问2详解】
由（1）得：，，
又，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增
故的最大值是或，
而，，
故函数的最大值是2.
16. 已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）1;（2）180;（3）.
【解析】
【分析】（1）利用条件、组合数公式，求得的值，可得展开式中各项系数的和．
（2）利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
（3）由题意利用二项式系数的性质，求出二项式系数最大的项．
详解】解：（1）由题意知， ，即 ，求得，
故令，可得展开式中各项系数的和为．
（2）由于二项式的通项公式为，令，求得，
故展开式中的常数项为．
（3）要使二项式系数最大，只要 最大，故，
故二项式系数最大的项为第6项．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质.
17. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件．
（1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可．
（2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可．
【小问1详解】
分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
【小问2详解】
．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
18. 已知函数．
（1）当时，证明函数在单调递增；
（2）若函数在有极值，求实数a的取值范围；
（3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1个
【解析】
【分析】（1）求导通过，即可求证；
（2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可；
（3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解；
【小问1详解】
当时，由，可得，
因，则，又因为，则，
所以函数在单调递增；
【小问2详解】
，
因为函数在有极值，所以在有变号的根，
又因为在单调递增，则，
即，所以，解得，
故实数a的取值范围为；
【小问3详解】
因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，
解得．
故则，
当时，，即在单调递增，
因，所以在没有零点；
当时，，即在没有零点．
综上所述，函数的零点个数为1个．
19. 设.
（1）若，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若在 上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数存在两个极值点，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求；
（3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得.
【小问1详解】
当时，，则，则，
又，则切线方程为，即；
【小问2详解】
，令，
则，当时，有，
故在上单调递增，即在上单调递增，
则，
当时，，则在上单调递增，
有，满足要求；
当时，则，又，
则必存在，使，即，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则
，令，
则，
则在上单调递减，则，
即，故此时不符合题意，故舍去，
综上所述，；
【小问3详解】
由（2）得，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又函数存在两个极值点，则，即，
则有，要证，即证，
又，，在上单调递增，
即只需证，又，
即只需证，
令
，，
则
，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，即得证.