广东省东莞市光明中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市光明中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了 若函数，则， 设函数f， 函数的图象大致是， 函数的最大值为， 设，则的大小关系为， [多选题]下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：胡晶
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 光明中学高一年级共23个班，高二年级共16个班，从中选出一个班级担任学校本周值周任务，共有安排方法种数是（ ）
A. 16B. 23C. 39D. 368
【答案】C
【解析】
【分析】由加法计数原理即可求解.
【详解】从高一年级选出一个班级共有23种方法，
从高二年级选出一个班级共有16种方法，
共计种，
故选：C
2. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数求，再由解析式求即可.
【详解】由题意可得，
则，解得，
所以
所以．
故选：C．
3. 三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ）
A. 125种B. 243种C. 60种D. 10种
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种；
故选：A
4. 设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点
C. x=2为 f(x)的极大值点D. x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【解析】
【详解】，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
考点：函数的极值．
5. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种
【答案】B
【解析】
【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解
【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于区域，与 相邻，有3种涂法，
③，对于区域，与 相邻，有2种涂法，
④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题
使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B.
【详解】令，解得：或，排除C、D；
，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故选：A
7. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】求导确定函数单调性即可求解.
【详解】，
由，可得：，由，可得：，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，
故选：C
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.
【详解】设，
则，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
所以，
又，，，
又，，且在上单调递减，
所以，
所以.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）
A. 区间上，单调递增
B. 在区间上，单调递增
C. 在区间上，单调递增
D. 在区间上，单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.
【详解】由题图知当时，，
所以在区间上，单调递增，BC正确；
当时，，当时，，所以区间上，单调递减.在上递增，A错误；
当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；
故选：BC
10. [多选题]下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种
【答案】ABC
【解析】
【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D．
【详解】A项，，正确；
B项，h，e，r，的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；
C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；
D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．
故选：ABC.
11. 泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A. （i是虚数单位）B. （i是虚数单位）
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；
对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；
对于D，由，证明
即可.
【详解】对于A、B，由，
两边求导得，
，
，
又，
，
，故A正确，B错误；
对于C，已知，则.
因为，则，即成立，故C正确；
故C正确；
对于D，,，
，
当，；；；
，,
所以，所以成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由常见函数导数即可求解.
【详解】，
所以，
故答案为：1
13. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有______种
【答案】18
【解析】
【详解】试题分析：．
考点：组合的应用．
14. 已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，根据图象分析可知与有三个交点，可得，，代入可得，令，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】根据题意作出函数的图象，如图所示，
令，解得或，
令，解得或或，
由题意可知：与有三个交点，则，
此时，且，
令，可得，
则，
令，则，
可知在内单调递增，则的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的运算法则计算可得；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，即；
【小问2详解】
因为点在切线上，且，
所以切线方程为，即.
16. 已知是函数的一个极值点.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）减区间为，增区间为
（2）76
【解析】
【分析】（1）求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可；
（2）分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可
【小问1详解】
，是函数的一个极值点
， ，
，
令，解得或；令，解得.
所以函数的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
函数在的极大值为，又，
函数在区间上的最大值为.
17. 有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数.
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，男生互不相邻；
（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变
【答案】（1）576 （2）1440
（3）840
【解析】
【分析】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解；
（2）先排女生，然后按照插空法求解；
（3）按照定序法求解即可；
【小问1详解】
将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法，
再将名女生进行全排列，也有种方法，
故共有种排法.
【小问2详解】
男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有 种方法，
故共有种排法.
【小问3详解】
从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法，
剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，
故共有种排法
18. 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；的极大值为，
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值；
（2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值.
【小问1详解】
，
∴，
由，得.
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
的极大值为，也即的最大值为.
【小问2详解】
，
①当时，在上单调递增，
的最大值是，
解得，舍去；
②当时，由，得，
当，即时，
时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又在上的最大值为，
∴，
∴，
当，即时，在上单调递增，
，
解得，舍去.
综上，存在符合题意，此时.
19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
（1）证明：①倍元关系：；②平方关系：
（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明；
（2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可；
（3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明.
【小问1详解】
证明：①；
②.
【小问2详解】
构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.