广东省东莞市光正实验学校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省东莞市光正实验学校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ）
A. 2B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3. 在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合的效果最好的模型是（ ）
A. 模型3的相关指数为 B.模型2的相关指数为
C.模型1的相关指数为 D.模型4的相关指数为
4. 如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（ ）
A. 2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的
B. 2012-2021年中国汽车进口量方差大于出口量的方差
C. 2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆
D. 从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量
5. 已知随机变量，若，则（ ）
A. 0.8B. 0.7C. 0.3D. 0.2
6.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10. 某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d；
则下列说法中正确的是( )
A. χ2≈8.35 B. P(χ2⩾6.635)≈0.001
C. 我们有99%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
D. 我们有99.9%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系
11. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F分别为A1D1，CC1的中点，则( )
A. 直线BE与B1F所成角为90° B. 直线B1C与C1D所成角为60°
C. 直线AA1与平面ABC1D1所成角为45° D. 直线AA1与平面BFD所成角的正弦值为 33
12. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ）
A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B. 乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C. 丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D. 丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．
13.曲线在点处的切线方程是 ．
14.(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
15.已知圆锥母线长为2，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 .
16.如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种.(用数字填写答案)
四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17. 已知等差数列的公差，且满足，=4．
（1）求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前2022项和.
18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=2AB，AB⊥AD，E,F分别是CD和PC的中点，
(1)证明：AB⊥PD； (2)证明：平面BEF//平面PAD．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3c= 3acsB+asinB．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 7，3sin B=2sin C，求△ABC的面积．
20.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
21.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是eq \f(2,3)，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
22. 已知函数f(x)=x−ln x−2．
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的x∈(1,+∞)，都有xln x+x>k2(x−1)，求整数k的最大值．
2023-2024学年度第一学期高三年级第一次月考数学答案
一、单项选择题
二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
三、填空题
13． 14． 15． 16．72
17（1）省略求出公差3分，求通项5分
(2)所以，分
记的前n项和为，所以分
所以=分
18.【答案】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，，分
又AB⊥AD，
AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，，分
所以AB⊥平面PAD，分
又因为PD⊂平面PAD，故AB⊥PD；分
(2)因为CD = 2AB，E是CD的中点，所以AB=DE，
又AB//CD，所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE//AD，分
又AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，分
故BE//平面PAD，分
又△PCD中，E，F分别是CD和PC的中点，
所以EF//PD，分
又PD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
故EF//平面PAD，分
又因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，分
故平面BEF//平面PAD． 分
19.【答案】解：(1)由正弦定理可知a:b:c=sinA:sinB:sinC，
得 3sinC= 3sinAcsB+sinAsinB，分
因为 3sinC= 3sin(A+B)= 3sinAcsB+ 3csAsinB，分
得 3csAsinB=sinAsinB，分
∵A，B∈(0,π)，∴sinB≠0，∴tanA= 3，即A=π3．分
(2)由3sinB=2sinC，得3b=2c，分
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=28，分
则b2+94b2−32b2=28，即74b2=28，，分
解得b=4，c=6，，分
故△ABC的面积为S=12bcsinA=12×4×6× 32=6 3． ，分
20【答案】 解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=PABC+PABC+PABC+PABC
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2
=0.16+0.16+0.24+0.04=分
(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，分
PX=0=0.5×0.4×0.8=0.16，分
PX=10=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，分
PX=20=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，分
PX=30=0.5×0.6×0.2=分
即X的分布列为
分
期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=分
21.【解】 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，分
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,5)；P(ξ＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(0,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)分
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
E(ξ)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝分
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.
P(η＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)；P(η＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(6,27)；
P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(12,27)；P(η＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27)分
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
E(η)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(6,27)＋2×eq \f(12,27)＋3×eq \f(8,27)＝2.(或因为η～B(3，eq \f(2,3))，
所以E(η)＝3×eq \f(2,3)＝2)分
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×eq \f(1,5)＋(2－2)2×eq \f(3,5)＋(3－2)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5)，
D(η)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
所以D(ξ)＜D(η)．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；
从做对题数的方差考查，甲较稳定；分
从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得：f′(x)=1−1x=x−1x，分
令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)