1.4 2026年中考数学一轮专题复习解直角三角形同步练习

这是一份1.4 2026年中考数学一轮专题复习解直角三角形同步练习，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题）
1. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，那么下列结论一定成立的是
A. b=ctanAB. b=cctAC. b=csinAD. b=ccsA

2. 如图，在 △ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则 AC 的长为
A. 2B. 52C. 5D. 2

3. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，csA=45，则 sinB=
A. 45B. 54C. 53D. 35

4. 如图，CD 是一个平面镜，光线从点 A 射出经 CD 上的点 E 反射后照射到点 B，设入射角为 α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C，D．若 AC=3，BD=6，CD=12，则 tanα 的值为
A. 43B. 34C. 45D. 35

5. 在 △ABC 中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段 BC 的长度不能使 △ABC 的形状和大小都确定的是
A. 2B. 4C. 3D. 23

6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 D 在 AC 上，∠DBC=∠A．若 AC=4，csA=45，则 BD 的长度为
A. 94B. 125C. 154D. 4

7. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA=15，则 AD 的长为
A. 2B. 3C. 2D. 1

8. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AF⊥BC 于点 F，cs∠ADE=32，DF=4，则 BF 的长为
A. 23B. 4C. 43D. 8

9. 如图，在 △ABC 中，CA=CB=4，csC=14，则 sinB 的值为
A. 102B. 153C. 64D. 104

10. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=60∘，AD⊥BC 于点 D，BD=3．若 E，F 分别为 AB，BC 的中点.则 EF 的长为
A. 33B. 32C. 1D. 62

11. 如图，在 △ABC 中，CA=CB=4，csC=14，则 sinB 的值为
A. 102B. 153C. 64D. 104

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AB=10，sinA=35，则斜边上的高等于
A. 5B. 4.8C. 4.6D. 4

二、填空题（共10小题）
13. 如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β 如图所示，则 csα+β= ．

14. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B=90∘，AB=2，CD=8．连接 AC，AC⊥CD，若 sin∠ACB=13，则 AD 的长是 ．

15. 点 G 是 △ABC 的重心，AG 的延长线交 BC 于点 D，AD=6，那么 AG= ．

16. 如图所示方格纸中每个小正方形的边长为 1，其中有三个格点 A 、 B 、 C，则 sin∠ABC= ．

17. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BC=14，AD=12，sinB=45，则 CD 的长为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠B=30∘，AC=2，csC=35，则 AB 边的长为 ．

19. 如图，在 △ABC 中，∠A=30∘，AB=23，AC=6，则 BC 的长为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=6，AD⊥BC，D 为垂足，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 落在线段 AD 上的点 Bʹ 处，AʹBʹ 交 AC 于 E，∠B=75∘，那么 BʹE 的长是 ．

21. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 AB 的长应是 ．

22. 一个含有 30∘ 角的三角板与一个宽为 4 cm 的纸条如图①所示的方式放置，∠A=30∘，∠ACB=90∘，三角板绕点 C 顺时针旋转 45 度，点 B 恰好落在纸条的边上（如图②），则 AC= cm．

三、解答题（共6小题）
23. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，a=4，c=42，解此直角三角形．

24. 请回答下列问题：
（1）已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，解直角三角形．
（2）已知 △ABC 中，∠A=45∘，AB=4，BC=3，求 AC 的长．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，csA=35．D 是 AB 边的中点，过点 D 作直线 CD 的垂线，与边 BC 相交于点 E．
（1）求线段 CE 的长；
（2）求 sin∠BDE 的值．

26. 如图，在 △ABC 中，BC=6，sinA=35，∠B=30∘，求 AC 和 AB 的长．

27. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，根据下列条件解直角三角形．
（1）a=85，b=815；
（2）∠B=45∘，c=14．

28. 在矩形 ABCD 和 △BEF 中，∠DBC=∠EBF=30∘，∠BEF=90∘．
（1）如图1，当点 E 在对角线 BD 上，点 F 在 BC 边上时，连接 DF，取 DF 的中点 M，连接 ME 、 MC，则 ME 与 MC 的数量关系是 ，∠EMC= ∘；
（2）如图2，将图1 中的 △BEF 绕点 B 旋转，使点 E 在 CB 的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中 ME 与 MC 的数量关系仍然成立吗?请证明你的结论；
② 求 ∠EMC 的度数．
答案
1. D
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，
则 csA=ACAB=bc，
∴b=ccsA．
2. B
3. A
4. A
5. A
【解析】如图（1），过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
则 BD=ABsin30∘=12×23=3，
故当 BC=3，即点 D 与点 C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；
当 BC=2 时，如图（2），
则 BC1=BC2=2，此时 △ABC1 与 △ABC2 的形状和大小不相同，即选项A符合题意；
当 BC=23 时，△ABC 是等腰三角形，如图（3），
此时 △ABC 的形状与大小确定，故选项D不符合题意；
当 BC=4 时，如图（4），
△ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．
6. C
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，csA=ACAB=45，
∴AB=5，
∴BC=AB2-AC2=3，
∵∠DBC=∠A，
∴cs∠DBC=BCBD=45，
∴BD=154．
7. A
8. C
9. D
10. C
【解析】∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠B=45∘，BD=3，
∴AD=BD=3，
∵∠C=60∘，
∴DC=ADtan60∘=33=1，
∴AC=2DC=2，
∵E，F 分别为 AB，BC 的中点，
∴EF=12AC=1．
11. D
【解析】过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，如图所示．
在 Rt△ACD 中，CD=CA⋅csC=1，
∴AD=AC2-CD2=15．
∵BD=CB-CD=3，AD=15，
∴AB=BD2+AD2=26，
∴sinB=ADAB=104．
12. B
【解析】如图所示，作 CD⊥AB，交 AB 于点 D，
CD 即为斜边上的高，在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90∘，AB=10，sinA=35，
∴sinA=BCAB=BC10=35，
∴BC=6，根据勾股定理得 AC=AB2-BC2=8．
∵S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB，
∴CD=AC⋅BCAB=8×610=4.8．
故选B．
13. 217
14. 10
【解析】在 Rt△ABC 中，
∵AB=2，sin∠ACB=ABAC=13，
∴AC=3AB=6．
在 Rt△ADC 中，AD=AC2+CD2=62+82=10．
15. 4
16. 9145145
【解析】AB=29，BC=25，S△ABC=BC×AD2=9 .
∴AD=955 .
sin∠ABC=ADAB .
17. 5
18. 165
【解析】如图，作 AH⊥BC 于 H．
在 Rt△ACH 中，
∵∠AHC=90∘，csC=35，
∴CHAC=35，
∵AC=2，
∴CH=65，
∴AH=AC2-CH2=22-652=85，
在 Rt△ABH 中，
∵∠AHB=90∘，∠B=30∘，
∴AB=2AH=165．
19. 23
【解析】作 BD⊥AC 于点 D，
在 Rt△ABD 中，
BD=AB⋅sinA=3，AD=AB⋅csA=3，
∴CD=AC-AD=3，
在 Rt△BCD 中，BC=BD2+CD2=23．
20. 6-33
21. 2-1
【解析】如图，
设 DE=x，
由题意 3DE2=1，
∴DE=33，
在 Rt△CDE 中，∠CED=90∘，CD=1，
∴EC=CD2-DE2=12-332=63，
∴tan∠ECD=DTCD=DEEC，
∴DT=22，
∴AT=1-22，
∵∠ABT=∠TCD，
∴tan∠ABT=tan∠TCD，
∴ATAB=DTCD，
∴1-22AB=221，
∴AB=2-1．
22. 46
【解析】如图，过点 B 作 BD 垂直于纸条，垂足为 D，
所以 BD=4 cm，在 Rt△BDC 中，BC=2BD=42 cm，在 Rt△ABC 中，∠A=30∘，tanA=BCAC，
所以 AC=BCtanA=4233=46cm．
23. 在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，
∴sinA=ac，又 a=4，c=42，
∴sinA=442=22，
b=c2-a2=422-42=4，
∴∠A=45∘，
∴∠B=180∘-∠C-∠A=180∘-90∘-45∘=45∘．
24. （1） 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，
∴∠B=90∘-∠A=90∘-30∘=60∘，tanA=BCAC，
∴33=3AC，
∴AC=3，
∴AB=AC2+BC2=23，
∴∠B=60∘，AC=3，AB=23．
（2） 有两种情况：
如图①，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，
∵AB=4，∠A=45∘，
∴AD=BD=sin45∘×AB=22×4=22，
在 Rt△BCD 中，CD=BC2-BD2=1，
∴AC=AD+CD=22+1；
如图②，
AC=AD-CD=22-1．
故 AC 的长为 22+1 或 22-1．
25. （1） ∵∠ACB=90∘，AC=6，csA=35，
∴ACAB=35，
∴AB=10，
∴BC=AB2-AC2=8，
又 ∵D 为 AB 中点，
∴AD=BD=CD=12AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∴cs∠DCB=CDCE，
∴cs∠B=BCAB，
∴5CE=810，
∴CE=254．
（2） 作 EF⊥AB 交 AB 于 F，
由（1）知 CE=254，
则 BE=8-254=74，
DE=CE2-CD2=154，
设 BF=x，则 DF=BD-BF=5-x，
在 Rt△DEF 中，EF2=DE2-DF2=1542-5-x2，
在 Rt△BEF 中，EF2=BE2-BF2=742-x2，
∴22516-5-x2=4916-x2，
解得 x=75，
∴sin∠BDE=EFDE=725．
26. 如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，sinB=sin30∘=12=CDBC，csB=cs30∘=32=BDBC，
∴CD=12×6=3，BD=32×6=33．
在 Rt△ACD 中，sinA=CDAC=35，
∴AC=5CD3=5．
∴AD=AC2-CD2=52-32=4，
∴AB=AD+BD=4+33．
27. （1） ∵a=85，b=815，∠C=90∘，
∴c=b2+a2=8152+852=165，
∴∠A=30∘，∠B=60∘．
（2） ∵∠B=45∘，c=14，∠C=90∘，
∴∠A=45∘，a=b=14×22=72．
28. （1） ME=MC；120．
（2） ME=MC 仍然成立．
分别延长 EM 、 CD 交于点 G，如图 3．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DCB=90∘．
∵∠BEF=90∘，
∴∠FEB+∠DCB=180∘．
∵ 点 E 在 CB 的延长线上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M 是 DF 的中点，
∴FM=DM．
在 △FEM 和 △DGM 中，
∠1=∠G,∠2=∠3,FM=DM,
∴△FEM≌△DGM．
∴EM=GM．
∴ 在 Rt△GEC 中，CM=12EG=EM．
即 ME=MC．
② 分别延长 FE 、 DB 交于点 H，如图 4．
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵ 点 E 在直线 FH 上，∠FEB=90∘，
∴∠HEB=∠FEB=90∘．
在 △FEB 和 △HEB 中，
∠FEB=∠HEB,EB=EB,∠5=∠6,
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM∥HD．
∴∠7=∠4=30∘．
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30∘．
∴∠EMC=180∘-∠7-∠8=180∘-30∘-30∘=120∘．