2023中考数学一轮复习专题17解直角三角形(同步练习卷）（通用版）

这是一份2023中考数学一轮复习专题17解直角三角形(同步练习卷）（通用版），文件包含专题17解直角三角形精练通用版-老师版docx、专题17解直角三角形精练通用版-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
第17讲 解直角三角形（精练）
锐角三角函数的计算

1. （2020秋•济南期末）如图，在中，，，，　　．

【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：，，，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是解决此类它们的关键．
2. （2021•海淀区校级模拟）如图，中，，于点，若，则　　．

【分析】根据同角的余角相等，可得，再根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：中，，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】考查了锐角三角函数的定义，本题关键是得到．
3. （2020秋•西城区校级期中）如图，在中，，，，则的值是 　　．

【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
4. （2020秋•拱墅区校级月考）在中，，，则的值为 　　．
【分析】根据勾股定理，可得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案．
【解答】解：设，，由勾股定理，得
，
由三角函数的正弦等于对边比斜边，得
．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5. （2019秋•昌平区校级期末）在直角三角形中，，，，则　　．
【分析】利用勾股定理求出，再根据正切函数的定义求解即可．
【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. （2020•肥城市四模）如图，在直角坐标系中放入矩形纸片．将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为，已知，，则点的坐标是　　．

【分析】根据，设，则，由勾股定理得，根据矩形的性质可知，可知，由折叠的性质可证△，由相似三角形对应边的比相等求，，在△中，利用勾股定理求即可确定点的坐标．
【解答】解：在△中，根据，
设，则，
由勾股定理，
根据矩形的性质可知，
，
由折叠的性质可证△，
，即，
，，
在△中，由勾股定理得
，即，
解得，
，，
．
故本题答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数值的运用，勾股定理的运用，折叠的性质．关键是利用勾股定理列方程求解．
7. （2019秋•锦江区校级期中）在中，，斜边长为5，，则的值为　　．
【分析】根据勾股定理和直角三角形的面积公式，先求出、的值，再计算的值．
【解答】解：在中，，
，，
，即，
．


．
【点评】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积公式、及异分母分式的加减，把转化为三角形三边间关系，是解决本题的关键．
8. （2019•顺庆区校级自主招生）直角三角形中，且，则　　．
【分析】根据正切的定义得到，，根据题意列出方程，解方程得到，根据等腰直角三角形的概念解答．
【解答】解：在直角三角形中，，
则，，
，
整理得，，
，
解得，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．
9. （2021秋•普宁市期末）计算：tan30°•sin60°﹣cos245°＝　0　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣（）2
＝﹣
＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
10. （2017春•霍林郭勒市校级月考）　　．
【分析】根据特殊角三角函数值、非零的零次幂，可得答案．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值、非零的零次幂是解题关键．
11. （2020秋•李沧区期末）计算：　2　．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：


，
故答案为：2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12. （2021秋•碑林区校级月考）在锐角中，若，则等于 　　．
【分析】根据平方的非负性，绝对值的非负性求出，值，然后求出，的度数即可．
【解答】解：由题意得：，，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，偶次方的非负性，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
13. （2020秋•青岛期末）计算　2　．
【分析】先利用特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算．
【解答】解：原式

．
故答案为：2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
14. （2020秋•拱墅区校级期末）　1　．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
【解答】解：原式

，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15. （2020秋•崂山区期末）　　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16. （2020秋•青羊区期末）计算：　　．
【分析】把的正弦值、的余弦值代入原式，计算即可．
【解答】解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. （2020秋•普宁市期末）计算：　　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

【解题技巧】
基础知识归纳：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝ 余弦：cosA＝＝
余切：tanA＝＝
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



基本方法归纳：结合图形记忆特殊三角函数值．
注意问题归纳：区分三种锐角三角函数特殊值之间的异同处．













解直角三角形

1. （2021秋•鹿城区校级月考）如图，是第一象限内一点，线段与轴正半轴的夹角为，若，，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意首先求出的长，再利用勾股定理得到的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：如图所示，过点作轴于点，

，，
，
，，
点的坐标为．
故选：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出的长是解题关键．
2. （2021秋•淮阴区月考）在中，，若，，则的长为　　
A．6 B． C． D．
【分析】根据三角函数定义就可以解决．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义是解题的关键．
3. （2021秋•天长市月考）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可．
【解答】解：在中，，是边上的高，
、、均为直角三角形，
又，，
，
在中，，故可以表示；
在中，，故可以表示；
在中，，故可以表示；
不能表示；
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．
4. （2021秋•禅城区校级期中）如图，，下列线段比值等于的是　　


A． B． C． D．
【分析】先根据互余关系，求出与相等的角，再利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：，
．
在中，
，
在中，
，
在中，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5. （2021秋•青羊区校级期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，则与轴正方向所夹锐角的正弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】如图作轴于，利用勾股定理求出，根据正弦定义计算即可．
【解答】解：作轴于，如右图．
，
，，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义．
6. （2021秋•玉田县期中）如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，正确的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据正弦值等于对边与斜边的比，可得结论．
【解答】解：在中，
；
在中，
．
故选：．
【点评】本题考 查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
7. （2021秋•碑林区校级期中）已知中，，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：中，，，，，
是直角三角形，．
．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，由勾股定理得到直角三角形是解题关键．
8. （2021春•淮南月考）如图，在中，，，延长到，使，则　　

A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质求得，设，求出，，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形，勾股定理等知识点，能求出是解此题的关键．



【解题技巧】
基础知识归纳：解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
（1）三边关系：a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
（4）sin2A＋cos2A＝1
基本方法归纳：解这类问题的关键是以边角关系和勾股定理为主．
注意问题归纳：灵活运用以上关系解题时要综合思考．




















解直角三角形的应用

1. （2021秋•江干区校级月考）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下到山顶需16分钟，则山的高度为　　

A． B． C． D．
【分析】先计算的长，再利用直角三角形的边角间关系求出．
【解答】解：（米．
，

．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
2. （2021秋•盐湖区校级月考）如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架、与桌面构成，如图2，已知，，则点到地面所在的平面）的距离是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，过作于点，延长，交于点，根据直角三角函数求出的长，进而得出的长．
【解答】解：如图，连接，过作于点，延长，交于点，

，，
，
，
，
即点到地面所在的平面）的距离是．
故选：．
【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3. （2021•温州模拟）工人师傅将截面为矩形的木条锯成矩形和矩形两部分如图所示，，，在一条直线上，，，，则点到的距离等于　　

A． B． C． D．
【分析】过点作的延长线于点，则，再用的正切值和余弦值表示出和的长，可得答案．
【解答】解：过点作的延长线于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大．
4. （2021•南宁一模）如图，，两地隔河相望，原来从地到地需要经过桥，沿折线到达地，现在（与桥平行）上建了新桥，可沿从地直达地．已知．桥，，．则的长是　　

A． B． C． D．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求出，即可．
【解答】解：过点、作，，垂足为、，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
故选：．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
5. （2021秋•朝阳区校级月考）如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从上取一点，取，已知米，，，点、、在同一直线上，那么开挖点离点的距离是　　

A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦定理列出算式，求出点离点的距离即可．
【解答】解：，
，
是直角三角形，
米，，
开挖点离点的距离米．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
6. （2021•松北区二模）如图，为了测量河两岸、两点间的距离，只需在与垂直方向的点处测得垂线段米，若，那么等于　　

A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】根据题意和图形，可知，从而可以用和表示出，本题得以解决．
【解答】解：，
，
米，，
，
（米，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确锐角三角函数的含义，利用数形结合的思想解答．
7. （2021•天桥区一模）如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆、、始终在同一平面内），垂直于底座且长度为，的长度为，的长度可以伸缩调整．如图2，保持不变，转动，使得，假如时为最佳视线状态，则此时的长度为（参考数据：．　　

A． B． C． D．
【分析】作于点，于点，解直角三角形求出、即可解决问题．
【解答】解：作于点，于点，如图3，

，，
，
，
，
，
，，
，
，
的长度为．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8. （2021秋•肇源县期中）某人沿着坡度的山坡起点向上走了50米，则他离地面 　25　米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
【分析】由坡度的定义设坡面的竖直高度为米，则水平距离为米，再由勾股定理即可解答本题．
【解答】解：设坡面的竖直高度为米，则水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：或（不合题意舍去），
即坡面的竖直高度为25米，
故答案为：25．

【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、勾股定理，掌握坡度的含义，由勾股定理得出方程是解题的关键．

9. （2021•天心区一模）钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡坡度，海平面上的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度约为　362　米．（精确到1米）

【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比列式计算即可．
【解答】解：坡度，
，
米，
（米，
故答案为：362．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
10. （2021•海州区一模）如图，旗杆的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，旗杆在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面夹角是时，旗杆顶端在地面上的影子与墙角有的距离，，在一条直线上）．则旗杆的高度为　　．（结果保留根号）

【分析】根据直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，则，
设旗杆，则，
，
，
在中，
，
即，
，
故答案为：．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
11. （2021秋•海曙区校级月考）如图，小明家附近有一观光塔，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点处时，塔顶的仰角为，他往前再走5米到达点（点，，在同一直线上），塔顶的仰角为，则观光塔的高度约为 　8.6米　．（精确到0.1米，参考数值：，

【分析】由锐角三角函数定义得，设米，则米，米，再由锐角三角函数定义得，解得即可．
【解答】解：由题意可知，米，，，，
，
，
设米，则米，米，
在中，，
解得：，
（米，
即观光塔的高度约为8.6米，
故答案为：8.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
12. （2021•开江县模拟）我校兴趣小组同学为测量校外的一栋电梯高层的楼高，从校前广场的处测得该座建筑物顶点的仰角为，沿着向上走到米处的点．再测得顶点的仰角为，已知的坡度：，、、、在同一平面内，则高楼的高度为 　60米　（参考数据；，，

【分析】作交的延长线于，根据坡度的概念分别求出、，根据正切的定义求出．
【解答】解：作交的延长线于，
设米，
的坡度：，
米，
由勾股定理得，，即，
解得，（负值舍去），
则米，米，
设米，则米，
米，
，
，
，
在中，，
则，
解得，，
高楼的高度为60米，
故答案为：60米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13. （2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角，求船离灯塔的水平距离的长度是 　71　米（参考数据：，，结果取整数）．

【分析】由含角的直角三角形的性质得（米，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意得：，，米，
（米，
（米，
故答案为：71．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握含角的直角三角形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
14. （2021•赤峰）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头测一段水平雪道一端处的俯角为，另一端处的俯角为，若无人机镜头处的高度为238米，点，，在同一直线上，则雪道的长度为 　438　米．（结果保留整数，参考数据，，

【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【解答】解：由题意得，，，
在中，，
米，
在中，，
则米，
则米，
答：两点间的距离约为438米．
故答案为：438．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
15. （2021•黄石）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为 　10.5　米．
（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）

【分析】延长交的延长线于，作于，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据等腰三角形，得到的长，由得到结果．
【解答】解：延长交的延长线于，作于，
，
，又米，
米，（米，
由题意得，
米
米，
（米，
故答案为10.5．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16. （2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从处沿水平方向飞行至处需．同时在地面处分别测得处的仰角为，处的仰角为，则这架无人机的飞行高度大约是 　20　，结果保留整数）．

【分析】过点作于，过点作垂直于过点的水平线，垂足为，如图，利用仰角定义得到，，利用速度公式计算出，先计算出，再利用正切的定义计算出，由于，则，然后在中利用得到，最后进行近似计算即可．
【解答】解：过点作于，过点作垂直于过点的水平线，垂足为，如图，
根据题意得，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
答：这架无人机的飞行高度大约是．
故答案为20．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
17. （2021•武汉模拟）如图，从飞机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，飞机与楼的水平距离为，这栋楼的高度是 　554　，结果取整数）．

【分析】通过作垂线，构造直角三角形，在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数求解即可．
【解答】解：过点作，垂足为，
根据题意有，，，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
故答案为：554．

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
18. （2021•开福区校级二模）为了测量教学楼的高度，某同学先在点处用测角仪测得楼顶的仰角为，再沿方向前行40米到达点处，在点处测得楼顶的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，则此楼的高为 　56.1　米．（结果精确到0.1米，，，

【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数设未知数列方程求解即可．
【解答】解：在中，
，
，
在中，
，
，
设，则，
解得（米
（米，
故答案为：56.1．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19. （2021•罗湖区模拟）如图，小王在山坡上处，用高1.5米的测角仪测得对面铁塔顶端的仰角为，平行于地面，若米，米，山坡的坡度，坡长米，则铁塔的高度约　12.6　米．（精确到个位，参考数据：，，

【分析】如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，得矩形，可得，，过点作延长线的垂线，垂足为，得矩形，根据的坡度，，可得，，再根据锐角三角函数求出的长，即可求出的高度．
【解答】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，得矩形，
米，米，
过点作延长线的垂线，垂足为，
得矩形，

的坡度，米，
米，米，
（米，米，
（米，
在中，，
，
（米．
答：铁塔的高度约是12.6米．
故答案为12.6．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义和坡度坡角定义．
20. （2020秋•富川县期末）如图，一艘游轮从点出发，与望海楼的距离为90海里，在望海楼测得游轮位于处的南偏西方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达处，此时望海楼海务接到消息，游轮上携带有危险物品，必须马上出警拦截．这时在望海楼测得处位于的南偏西的方向，游轮正以每小时20海里的速度沿正北方向行驶，求望海楼处的海务船至少要以怎样的速度最近距离拦截下游轮？取1.73，结果保留整数）．

【分析】过点作，交的延长线于点，解直角三角形求出，再求出的长，即可解决问题．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，
由题意知：海里，，，
在中，，，
（海里），
在中，，
即，
（海里），
（海里小时）．
答：望海楼处的海务船至少要以每小时35海里的速度最近距离拦截下游轮．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. （2020秋•东坡区期末）知识改变世界，科技改变生活，中国北斗导航已经全球组网，走近人们的日常生活．如图，某校组织学生乘车到玉屏山（用表示）开展研学实践活动，车到达地后，发现地恰好在地的正南方向，且距离地26千米，导航显示车辆应沿东南方向行驶至地，再沿南偏西方向行驶一段距离才能到达地，求、两地的距离．

【分析】过作于点，设千米，证是等腰直角三角形，则千米，再求出（千米），然后由题意得，解得：，即可解决问题．
【解答】解：如图，过作于点，
则，，，
设千米，
在中，，
是等腰直角三角形，
千米，
在中，（千米），
，
，
解得：，
，
千米，
即两地的距离为千米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. （2021秋•韩城市期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】

【分析】设DC＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AC、BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设DC＝xm，
在Rt△ADC中，∠DAC＝26.6°，tan∠DAC＝，
则AC＝≈＝2x，
在Rt△DCB中，∠DBC＝37°，tan∠DBC＝，
则BC＝≈＝x，
由题意得：2x﹣x＝40，
解得：x＝60，
答：外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD约为60m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23. （2021秋•农安县期末）如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】

【分析】根据正切的定义求出DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：CE＝AB＝1.8米，BE＝AC＝22米，
在Rt△DBE中，∠DBE＝32°，
则DE＝BE•tan∠DBE≈22×0.62＝13.64（米），
∴CD＝DE+EC＝13.64+1.8≈15.4（米），
答：旗杆的高度CD约为15.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24. （2021秋•海淀区校级期末）如图所示，某小组同学为了测量对面楼的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端的仰角为，底端的俯角为，请你根据以上数据，求出楼的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：，，，，

【分析】根据正切的定义分别求出、，计算即可．
【解答】解：在中，米，，
则（米，
在中，米，，
则（米，
（米，
答：楼的高度约为37.8米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25. （2021秋•宁波期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，
（1）求点距水平地面的高度；
（2）求广告牌的高度．

【分析】（1）根据坡度的意义，求出，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
（2）在中求出，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点作，，垂足分别为、，

由题意可知，，，，米，米，
，
，
（米，
即点距水平地面的高度为6米；
（2）在中，
（米，
（米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
（米，



（米
答：广告牌的高约8.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
26. （2021秋•碑林区校级月考）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点处测得热气球底部点，中部点的仰角分别为和，已知点为热气球中心，，，，点在上，，且点、、、、在同一平面内，根据以上提供的倍息，求热气球的直径约为多少米？（参考数据：，，，（结果精确到

【分析】过点作于，过点作于，根据正切的定义求出，，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，过点作于，过点作于．
在中，，
在中，，
设热气球的直径为米，
则，
解得：．
答：热气球的直径约为．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27. （2021秋•大荔县校级期中）如图所示，某水库大坝的横断面是四边形，，坝顶宽米，坝高米，背水坡的坡度是，迎水坡的坡度是，求坝底宽．

【分析】根据坡度的概念分别求出、，计算即可．
【解答】解：坡的坡度是，米，
（米，
坡的坡度是，米，
米，
，，，
四边形为矩形，
米，
（米，
答：坝底宽的长为12.5米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
28. （2021秋•鲤城区校级期中）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，

（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
【分析】（1）首先证明四边形是矩形，求出，即可解决问题；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出点处盲区最小高度，进而得出答案．
【解答】解：（1），，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，，
，
，
在中，，
，
，
答：盲区中的长度为；
（2）驾驶员能观察到物体，理由如下：
如图所示：过点作，交于，则，

，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29. （2021秋•巨野县期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，、为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长米，背水坡的
坡度，求背水坡的坡长为多少米．

【分析】直接利用坡度的定义得出，进而得出的长．
【解答】解：，，，
，，
四边形是矩形，
，
在中，
，米，，
米，
，
在中，，
，
，
（米，
答：背水坡的坡长为12米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，正确得出的度数是解题关键．
30. （2021•河南模拟）如图，是土坡左侧的一个斜坡，坡度为，村委会在坡底处建另一个高为3米的平台，并将斜坡改为，坡比，求土坡的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，．

【分析】过点作于，根据坡度的概念得到，根据正切的定义列方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点作于，
设米，
，，
四边形为矩形，
米，，
斜坡的坡比，
米，
米，
在中，，即，
解得：，
则（米，
答：土坡的高度约为10.0米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
31. （2021•黔东南州一模）某地的一座人行天桥如图所示，天桥的高为6米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方8米的长）处，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为（参考数据：，．
（1）若新坡面坡角为，求坡角的度数；
（2）有关部门决定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．

【分析】（1）根据坡度的概念、坡角的正切计算即可；
（2）作于点，根据坡度的概念分别求出、，计算即可．
【解答】解：（1）新坡面坡角为，新坡面的坡度为，
，
；
（2）该文化墙不需要拆除，
理由如下：作于点，则米，
新坡面的坡度为，
，
解得：（米，
坡面的坡度为，米，
米，
米，
米，
米米，
该文化墙不需要拆除．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
32. （2021•碑林区校级模拟）西安进行老旧小区改造，为方便老年人通行，计划将某小区一段斜坡进行改造，如图所示，斜坡长为10米，坡角，改造后坡角降为．求斜坡新起点与原起点的距离．（参考数据：，，，，，

【分析】根据余弦的定义求出，根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，计算即可．
【解答】解：在中，，米，，，
（米，（米，
在中，，，
（米，
（米，
答：斜坡新起点与原起点的距离约为10.9米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

【解题技巧】
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i＝________
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

基本方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．
注意问题归纳：所构造的直角三角形与已知条件或图形关系要密切．