2026年山东省济南市莱芜区中考模拟数学自编卷含答案

这是一份2026年山东省济南市莱芜区中考模拟数学自编卷含答案，共18页。试卷主要包含了若a的相反数等于2，则a是，如图所示几何体的主视图是图中的，下列计算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题4分，满分40分）
1．若a的相反数等于2，则a是（ ）
A．−12B．﹣2C．12D．2
2．如图所示几何体的主视图是图中的（ ）
A．B．C．D．
3．2025年国庆假期，四川德阳三星堆博物馆吸引了大量游客．假日期间，三星堆博物馆累计接待游客18.409万人次．请将游客人数用科学记数法表示为（ ）人次．
A．1.8409×104B．1.8409×105
C．1.8409×106D．1.8409×107
4．如图，已知AB∥CD，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列计算结果正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（a+b）2＝a2+b2
C．a6÷a2＝a3D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“消防安全”、“航天科技”、“垃圾分类”三个主题，若小安和小吉每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A．19B．16C．13D．23
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣x+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，AB∥CD∥EF，且AD＝3，DF＝5，则BCBE的值是（ ）
A．35B．53C．38D．58
10．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③8a+c＞0；④当ax2+bx+c≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（每小题4分，满分20分）
11．分解因式：3x+x3＝ ．
12．7张相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，则抽取的卡片上的数字是负数的概率为 ．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为3，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 ．
14．长沙市轨道交通6号线于6月28日开通初期运营，线路全长48千米，某次列车由谢家桥站始发至黄花机场站，以平均时速35千米/小时的速度行驶（列车停靠时间忽略），经过x小时后剩下的距离为y千米，则y与x的函数关系式为 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=22，点D、E分别是边BC、AC的中点，点F是线段AD上任意一点，将线段EF绕点E按顺时针旋转90°得到线段EP，连接AP，H是直线BC上一个动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△QEH，连接PQ，则线段PQ长度的最小值是 ．
三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分）
16．（9分）计算(2−1)0+|﹣3|−327+(−1)2023+(−4)2．
17．（9分）解不等式组x−3(x−2)＞4，①2x+13＞−1．②点点同学的计算过程如下：
由①得，x﹣3x﹣6＞4，﹣2x＞10，x＞﹣5；
由②得，2x+1＞﹣1，2x＞﹣2，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
请你判断点点同学的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程．
18．（9分）如图，已知菱形ABCD，∠ADC＝120°，点F在DB的延长线上，点E在DA的延长线上，且满足DE＝BF．求证：△EFC是等边三角形．
19．（9分）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得面板长AB为24cm，底座高DE为4cm，∠CDE＝150°，支架CD为20cm，BC为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面GH的高度（结果保留根号）；
（2）通过查阅资料，当面板AB绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端A离桌面GH的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少cm？请说明理由．（结果精确到1cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
20．（9分）（1）如图①，在▱ABCD中，CD＝5，连接AC，点E是BC延长线上一点，连接AE，∠E＝∠CAE，AE⊥CD，若AE＝12，求AC+AD的值；
（2）如图②，四边形ABCD是一个劳动教育基地，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝120m，连接AC，半圆O是一个半径为16m的半圆形储水池，半圆O与BC切于点M，点M是进水口，BM＝40m．现计划改造出一个△MPQ区域用来养殖水产．要求，点P在AC上，点Q在△ACD内（△ACD足够大），PQ∥CD，PQ＝16m，为安全起见，要沿△MPQ三边修建围栏，所修建的围栏总长是否存在最小值，若存在，请求出MP+PQ+MQ的最小值；若不存在，请说明理由．
21．（9分）为了了解某市市民“绿色出行”的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据所给信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择B类的有 人．
（2）求扇形统计图中A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图．
（3）该市每天约有10万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”的人数．
22．（9分）洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，也是我国5A级旅游景区之一．暑假期间，某校组织八年级师生共420人去洛阳龙门石窟游玩，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A种车3辆，B种车5辆，则空余15个座位；如果租用A种车5辆，B种车3辆，则有15个人没座位．
（1）求该公司A，B两种车型各有多少个座位；
（2）若A种车型的日租金为260元/辆，B种车型的日租金为350元/辆，怎样租车才能使得座位恰好坐满且租金最少？最少租金是多少？
23．（9分）如图，直线y=−12x+b与x轴交于点A（10，0），与y轴交于点D，与反比例函数y=kx(x＞0）图象交于B（a，1），C两点．
（1）求a，b，k的值；
（2）若E为x轴上一点，且△BCE是直角三角形，求点E的坐标；
（3）M为直线BC上一点，N为平面内一点，且△NMO∽△DOA，ON与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点P，当点P为ON中点时，求点M的坐标．
24．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点坐标．
（2）如图1，P为第四象限的抛物线上一点，且满足∠ACO＝∠BCP，求P点的坐标．
（3）将抛物线平移，新抛物线的顶点为原点，如图2，直线y＝2x与新抛物线交于O，N两点，过ON中点M作直线HD（异于直线ON）交新抛物线于H，D两点，直线OD和直线HN交于点F，问点F是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式，若不是，请说明理由．
25．（9分）综合与探究
【问题情境】
如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC．
【数学思考】
（1）在图①中，ADAE的值为 ；
（2）图①中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，其他条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展探究】
（3）在图②中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图③，探究∠APF与∠ACB之间的数量关系，直接写出结论．
参考答案
一．选择题
二．填空题
11．x（3+x2）．
12．27．
13．92π．
14．y＝48﹣35x．
15．10−2．
三．解答题
16．解：(2−1)0+|﹣3|−327+(−1)2023+(−4)2
＝1+3﹣3+（﹣1）+4
＝1+3﹣3﹣1+4
＝4．
17．解：点点同学的计算不正确，
正确解答过程如下：
x−3(x−2)＞4①2x+13＞−1②，
解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x＜1．
18．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD∥BC，CD＝CB，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠FBC＝∠BCD+∠BDC＝120°，
∴∠EDC＝∠FBC，
在△EDC和△FBC中，
CD=CB∠EDC=∠FBCDE=BF，
∴△EDC≌△FBC（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∵∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠BCE+∠DCE＝∠BCD＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
19．解：（1）如图2，作CN⊥GH于点N，DM⊥CN于点M，
∴MN＝DE＝4，∠CDM＝150°﹣90°＝60°，
在Rt△CDM中，CD＝20cm，
∴CM＝CD•sin∠CDM＝20×32=103（cm）
∴CN＝CM+MN＝（103+4）cm，
∴支点C离桌面GH的高度为（103+4）cm；
（2）当面板AB与桌面夹角α从30°变化到70°的过程中，面板上端A离桌面GH的高度随之增加，增加了8cm，理由如下：

如图3，延长AB交GH于点I，∠AIN＝α，过A作AJ⊥GH于点J，
∵AB＝24cm，BC＝6cm，
∴AC＝18（cm），
①当α＝30°时，在Rt△CNI中，
∵∠CIN＝30°，
∴CI＝2CN＝（203+8）cm，
∴AI＝CI+AC＝（203+26）cm，
∴AJ=12AI＝103+13≈30.3（cm）；
②当α＝70°时，在Rt△CNI中，
∵∠CIN＝70°，
∴CI=103+4sin70°≈22.66（cm），
∴AI＝CI+AC＝22.66+18＝40.66（cm），
∴AJ＝AI•sin70°≈40.66×0.94≈38.22（cm），
∴38.22﹣30.3＝7.92≈8（cm），
答：当面板与桌面夹角α从30°变化到70°的过程中，面板上端A离桌面GH的高度随之增加，增加了8cm．
20．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝5，AB∥CD，
又∵AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∵∠E＝∠CAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AC＝EC，
又∴AD＝BC，
∴AC+AD＝CE+BC，
∵CE+BC＝BE，
∴AC+AD＝BE，
在Rt△ABE 中，
∵BE=AB2+AE2=52+122=13，
∴AC+AD的值为13．
（2）过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，连接OQ，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB∥CD，
∵AB＝BC＝120，
∴四边形ABCE是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
又∵半圆O与BC切于点M，
∴OM⊥BC，
∴OM∥CD，
∵PQ∥CD，
∴OM∥PQ，
∵OM＝PQ＝16，
∴四边形OMPQ是平行四边形，
∴MP＝OQ，
∴MP+PQ+MQ＝OQ+16+MQ，
∴求MP+PQ+MQ的最小值就是求OQ+MQ的最小值，
过点Q作AC的平行线l，直线l在△ACD内的部分为Q的轨迹，过点O作OH⊥l于点H，延长OH到R，使得HR＝OH，连接QR，MR，可得l垂直平分OR，
∴OQ＝RQ，
∴OQ+MQ＝RQ+MQ，
∴当R、Q、M三点共线时，RQ+MQ取得最小值，即MP+PQ+MQ取得最小值，
延长MO交AC于点G，交l于点T，连接TR，
∵MT∥PQ∥CD，TQ∥AC，
∴四边形TGPQ是平行四边形，
∴TG＝PQ＝16，
在Rt△GMC中，∠MCG＝∠MGC＝45°，
∴MG＝MC＝BC﹣BM＝80，∠GTH＝∠MGC＝45°，
∴MT＝MG+GT＝96，
∵l垂直平分OR，
∴∠OTR＝2∠GTH＝90°，TR＝TO＝MT﹣OM＝80，
∴MR=MT2+TR2=962+802=1661．
∴所修建的围栏总长存在最小值，MP+PQ+MQ 的最小值为 (1661+16)m．
21．解：（1）本次调查的市民有200÷25%＝800（人），
∴B类别的人数为800×30%＝240（人），
故答案为：800，240；
（2）补全条形统计图如下，
A类所占百分比：1﹣6%﹣14%﹣25%﹣30%＝25%，
∴A类对应扇形圆心角α的度数：25%×360°＝90°，
A类人数为：800×25%＝200（人），
（3）10×（1﹣14%﹣6%）＝8（万人），
∴市“绿色出行”的人数为8万人．
22．解：（1）设该公司A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，
根据题意得：3x+5y=420+155x+3y=420−15，
解得：x=45y=60，
∴该公司A种车型有45个座位，B种车型有60个座位；
（2）设租用A种车型m辆，总费用为W元，则租用B种车型420−45m60辆，
∵420−45m60≥0且420−45m60为整数，
∴m≤913且m为4的倍数，
根据题意得：W＝260m+350×420−45m60=−2.5m+2450，
∵﹣2.5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤913且m为4的倍数，
∴当m＝8时，W取最小值﹣2.5×8+2450＝2430，
此时420−45m60=1，
∴租用A种车型8辆，B种车型1辆，才能使得座位恰好坐满且租金最少，最少租金是2430元．
23．解：（1）将点A坐标代入直线解析式得：0＝﹣5+b，
∴b＝5，
将点B坐标代入直线解析式得：1=−12a+5，
∴a＝8，
将点B坐标代入反比例函数解析式得：1=k8，
∴k＝8，
∴a＝8，b＝5，k＝8；
（2）联立直线和反比例函数解析式：−12x+5=8x，
解得：x＝2或8，
∴C（2，4），
设E（e，0），
∴BE2＝（e﹣8）2+1，CE2＝（e﹣2）2+16，BC2＝（8﹣2）2+（1﹣3）2＝40，
①当∠BEC＝90°时，则（e﹣8）2+1+（e﹣2）2+16＝40，
此方程无实数根，
∴这种情况不存在，
②当∠CBE＝90°时，则（e﹣8）2+1+40＝（e﹣2）2+16，
解得e=8512，
∴E（8512，0）；
③当∠BCE＝90°时，则（e﹣8）2+1＝（e﹣2）2+16+40，
∴e=512，
∴E（512，0），
综上所述，点E的坐标为（8512，0）或（512，0）；
（3）令x＝0，则y＝5，
∴D（0，5），
∵△NMO∽△DOA，
∴∠OMN＝90°，MNOM=ODOA=12，
过M作MF⊥y轴于F，OM过＝N作NG⊥MN于G，如图：
设M（m，−12m+5），
∵OM⊥MN，
∴△OMF∽△MNG，
∴MGOF=NGFM=OMMN=12，
∴N（m+14m−52，−12m+5+12m）或（m−14m+52，−12m+5−12m）即（54m−52，5）或（34m+52，5﹣m），
∵P是ON中点，
∴P（58m−54，52）或（38m+54，52−m2），
∵P在反比例函数上，
∴（58m−54）×52=8或（38m+54）（52−m2）＝8，
解得：m＝7.12，
∴M（7.12，1.44）．
24．解：（1）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3或x2＝﹣1，
令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）过点B作BD⊥CB交PC于点D，过点B作FE⊥x轴，过C作CF⊥y轴交EF于点F，过D作DE⊥EF，如图，
则BF＝OC＝3，CF＝OB＝3，tan∠ACO=OAOC=13，
∵∠ACO＝∠BCP，
∴tan∠BCP=BDCB=13，则CB＝3BD，
∵∠DBE+∠BDE＝90°＝∠DBE+∠CBF，
∴∠BDE＝∠CBF，
∵∠DEB＝∠BFC＝90°，
∴△BDE∽△CBF，
∴DEBF=BECF=BDBC，则DE3=BE3=13，
∴DE＝1，BE＝1，
那么点D（2，﹣1），
设直线CP的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3），D（2，﹣1）代入得：
2k+b=−1b=3，
解得k=−2b=3，
∴y＝﹣2x+3，
联立y=−2x+3y=−x2+2x+3，
解得x＝0或x＝4，
当x＝4时，y＝﹣16+2×4+3＝﹣5，
∴P（4，﹣5）；
（3）点F在一条定直线上；理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴平移后新抛物线的解析式为y＝﹣x2，
联立y=−x2y=2x，得﹣x2＝2x，
解得，x＝﹣2或x＝0，
∴N（﹣2，﹣4），
∴M（﹣1，﹣2），
设D（m，﹣m2），H（n，﹣n2），直线HD的解析式为y＝kx+b，
将D（m，﹣m2），H（n，﹣n2），代入y＝kx+b，得：
mk+b=−m2nk+b=−n2，
解得k=−(m+n)b=mn，
∴y＝﹣（m+n）x+mn；
将M（﹣1，﹣2）代入得，﹣2＝（m+n）+mn，即mn＝﹣2﹣m﹣n；
同理可求，直线NH的解析式为y＝﹣（n﹣2）x﹣2n，直线DO的解析式为y＝﹣mx，
联立y=−(n−2)x−2ny=−mx得，﹣（n﹣2）x﹣2n＝﹣mx，
解得x=−2nn−2−m，y=2mnn−2−m，
∴F(−2nn−2−m，2mnn−2−m)，
设点F在直线y＝px+q上，则2mnn−2−m=p⋅−2nn−2−m+q，
整理得，﹣4﹣2m﹣2n＝﹣2q﹣mq+n（q﹣2p），
比较系数得，q−2p=−2−2q=−4，
解得p=2q=2，
∴当p=2q=2时，无论m，n为何值时，2mnn−2−m=p⋅−2nn−2−m+q恒成立，
则点F在定直线y＝2x+2上，
故直线解析式为y＝2x+2．
25．解：（1）∵DE∥BC，AB＝6，AC＝5，
∴△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，
∴ADAE=ABAC=65，
故答案为：65；
（2）（1）中的结论仍然成立；理由如下：
∵△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
由（1）可得：ADAE=ABAC，
∴ADAB=AEAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴ADAE=ABAC=65；
（3）∠APF＝∠ACB；理由如下：
由（2）得△DAB∽△EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴△AFB∽△PFC，
∴AFPF=BFCF，
∵∠AFP＝∠BFC，
∴△AFP∽△BFC，
∴∠APF＝∠BCF，
∴∠APF＝∠ACB．
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A
B
C
D
E
出行方式
自行车
步行
公交车
出租车
私家车
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B．
B
A
D
C
B
C
C