2023年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，济莱高铁开通运营，济莱高铁由济南站至钢城站，线路全长约米，数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，的直角顶点在直线上，边与相交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在一个不透明的袋子中有三个形状完全相同的小球，小球的标号分别为，，，若随机摸出一个小球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号，把两次记下的标号分别当做点的横坐标、纵坐标，则点在第四象限的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，是一元二次方程的两个实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，在的两边上分别截取，，使；分别以，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，分别连接线段、、，若，点为的中点，连接交于点，连接则下列个结论中正确的个数是(    )
≌；
四边形是菱形；
；
．

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，若点，是抛物线上的两点，且满足时，都有，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  小明把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是______ ．

13.  一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是______ ．

14.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

15.  已知边长为的正方形，分别以各边为直径作半圆，则这个正方形与四个半圆所形成的阴影部分的面积是______ 结果保留
 

16.  如图，在矩形中，点是边上的一点，把矩形沿折叠，点落在边上的点处，，，点是线段上的动点，连接，过点作的垂线交于点，垂足为以下结论：；；；连接，则的最小值为；其中正确的结论是______ 把所有正确结论的序号都填在横线上．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在▱中，点、分别是对角线上的两点，且，连接，求证：．

20.  本小题分
根据国家教育部和体育总局颁发的学生体质健康标准精神，为提高学生的自我保健能力和体质健康水平，近日，某校开展了学生体能测试活动中的一项：女生一分钟跳绳比赛，并随机抽取了名女生一分钟跳绳次数进行调查统计，根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：

请结合上述信息完成下列问题：
______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______ ；
若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．

 

21.  本小题分
某景区在建筑物附近新建了一座高的建筑物，小明在此建筑物底端的点处测得建筑物的顶端的仰角是，当他到达建筑物的顶端时，测得点的俯角是．
求的度数；
请你帮小明计算建筑物的高结果精确到参考数据：
 

22.  本小题分
如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交于点，是的切线，为切点，交的延长线于点连接，．
求证：；
若的半径为，，求的长．

23.  本小题分
生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了元，购买乙种树苗花了元，甲种树苗的单价是乙种树苗的倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少棵．
求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共棵，若总金额不超过元，问最少购进多少棵乙种树苗？

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
求反比例函数的解析式；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标；
将线段在平面内平移，当一个端点的对应点在轴上，另一个端点的对应点是平面内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

 

25.  本小题分
如图，在同一平面内的和，连接、，点、分别是线段、的中点，绕点自由旋转时，、、三点会在同一条直线上．
如图，当和都是等边三角形时，判断线段、、的数量关系，并给出证明；
如图，当和都是等腰直角三角形时，请直接写出线段、、的数量关系______ ；
如图，当，，时，求点到直线的距离．

 

26.  本小题分
抛物线的顶点坐标为，与轴交于，两点，与轴交于点．
求这条抛物线的函数表达式；
如图，点是直线上的一个动点，连接，，求的最小值，并求出此时点的坐标；
如图，点在第四象限的抛物线上，连接，与相交于点，与轴交于点，是否存在点，使若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义，得到各种视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，因为，所以求得即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，两点在数轴上的位置可知，，
所以，
故原式．
故选：．
先根据，两点在数轴上的位置判断出，的大小，进而判断出的符号，据此得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从标有，，的三个小球中，先摸出一球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，把两次记下的标号分别当做点的横坐标、纵坐标，所有能可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中横坐标是正数，纵坐标是负数，即这个点在第四象限的有种，
所以点在第四象限的概率是，
故选：．
用列表法表示从标有，，的三个小球中，先摸出一球，记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，把两次记下的标号分别当做点的横坐标、纵坐标，所有能可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，，
，




，
故选：．
根据，是一元二次方程的两个实数根，得，，，把所求式子变形后整体代入计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，用整体思想解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是菱形，故正确，
，故错误，
，，，
≌，故正确，
过点作于点，于点．
设，
菱形的面积，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
故正确．
故选：．
正确．根据证明即可；
正确．证明，都是等边三角形，可得结论；
错误．利用菱形的面积公式判断即可．
正确．过点作于点，于点设，求出，，可得结论．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题时的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由可得，
，
整理，得：，
，
，
，
，
，
解得，
；
故选：．
根据且时，都有，可以得到，即可得到的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】

解：原式
，
故答案为：
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．  

12.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的性质易证平行四边形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，
根据平行线的性质易证，故阴影部分的面积占一份，
故飞镖落在阴影区域的概率为：．
故答案为：．
先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出即可．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这个多边形为边形，由题意得，，
解得，
即这个多边形为边形，
故答案为：．
根据多边形的内角和、外角和的计算方法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和是是正确解答的前提．
 

14.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得；
所以的取值范围为：且．
故答案为：且．
根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：正方形的边长是，
半圆的半径是，
圆的面积，
正方形的面积，
阴影的面积圆的面积正方形的面积．
故答案为：．
求出以正方形边长为直径的圆的面积，正方形的面积，由阴影的面积圆的面积正方形的面积，即可求出阴影的面积，
本题考查圆面积、正方形面积的计算，关键是明白阴影的面积圆的面积正方形的面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

矩形沿折叠，点落在边上的点处，
，，，
，故正确；
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，故错误；
过作于，如图：

，
，
，即，
，
∽，
，故正确；
，，
点的运动轨迹为以中点为圆心，为半径的弧，过作于，交于，如图：

，为中点，
，，，
，，，
，
当，，共线时，取最小值，最小值为，
的最小值为，故正确；
正确的结论是，
故答案为：．
由矩形沿折叠，点落在边上的点处，可得，，，故，判断正确；求出，，设，可得，即可解得，判断错误；过作于，证明∽，知，判断正确；根据，，可得点的运动轨迹为以中点为圆心，为半径的弧，过作于，交于，由，为中点，可求出，，，即得，当，，共线时，取最小值，最小值为，可得的最小值为，判断正确．
本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形相似的判定与性质，勾股定理及应用，共圆等问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识点的运算．
 

18.【答案】解：

，
当时，
原式
． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的混合运算与求值，掌握整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用证明与全等解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出，解答．
 

20.【答案】     

【解析】解：根据频数分布直方图可知优秀的人数，
合格人数为人，良好的人数为人，
；
故答案为：，；
根据的数据补全频数分布直方图如下：

在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；
故答案为：；
人，
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为人．
根据合格所占的百分比求出合格的人数，再根据频数分布直方图求出良好和优秀的人数，用总人数减去其他人数求出即可；
根据的数据补全频数分布直方图即可；
用乘以“良好”等级所占的百分比即可；
用该校的总人数乘以一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数所占的百分比即可．
本题考查的是频数率分布直方图、扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：过点作于，
，，
，
，，
；
，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
．
答：建筑物的高约为． 

【解析】过点作于，根据平行线的性质即可求出结论；
在中可证得，在中，根据三角函数的定义求得，由求出，进而求得．
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
 

22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
的平分线交于点，
，
，
是的切线，为切点，
，
，
，
．
解：作于点，则，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由是的直径，得，则，所以，由切线的性质得，则，所以；
作于点，可证明四边形是正方形，则，，而，，则，所以．
此题重点考查切线的性质、圆周角定理、平行线的判定、正方形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设乙种树苗单价是元，则甲种树苗单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种树苗单价是元，乙种树苗单价是元；
设购进乙种树苗棵，则购进甲种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最，小值为，
答：最少购进棵乙种树苗． 

【解析】设乙种树苗单价是元，则甲种树苗单价是元，由题意：购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少棵．列出分式方程，解方程即可；
设购进乙种树苗棵，则购进甲种树苗棵，由题意：总金额不超过元，列出一元一次不等式，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：当时，，即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即房比例函数表达式为：；

联立一次函数和反比例函数表达式得：，
解得：或，
即点；
设点的坐标为：，
则的面积，
解得：或，
即点的坐标为：或；

存在，理由：
设点，点，
当是对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当是对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或． 

【解析】由待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
当是对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当是对角线时，同理可解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 

25.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
如图，连接，

和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
点、分别是线段、的中点，
，，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
；
，理由如下：
如图，连接，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，，
点、分别是线段、的中点，
，，
，
≌，
，，
，
都是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：；
如图，过点作于，

，，
点，点，点三点共线，，，
，
∽，
，
又，
，
又，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
点到直线的距离．
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，即可求解；
通过证明∽，可得，通过证明是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，将点代入，得：，
解得：，
，
故该抛物线的函数表达式为；
如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
；
存在点，使理由如下：
如图，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，则，

即，则，
则；
过点作轴于点，则，
则，
，
过点作轴交过点与轴的平行线于点，
轴，轴，
，
，
在中，，
设点，
则，
解得：舍去或，
经检验，是方程的根，
． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，利用待定系数法可得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解即可得出答案；
证明，设点，则，解方程即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，利用轴对称的性质求线段长的最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．