湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数周期性求解.
【详解】.
故选：D
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数单调性和，再结合零点存在定理即可得解.
【详解】因为函数和均为单调递增函数，
所以函数为单调递增函数，
又，所以，
所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为.
故选：B.
3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置.
【详解】因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故选：B
4. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式
【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，，
由函数图像可得，，，，又，故，
则函数的解析式可化为，将点代入得，即，
又，取，得，此时.
故选：A．
5. 若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设可知方程与的根相同，将对应的根代入即可求解.
【详解】对定义域内的任意，不等式恒成立，两因式必须同号，
又因为函数式与均为增函数，故两函数的零点必须相同，
即，故
故选：C.
6. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性，利用充要条件的概念判断即可.
【详解】由，得，解得，
故，，则为偶函数；
若为偶函数，则必有，
故“”是“为偶函数”的充要条件.
故选：C.
7. 若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C
8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围.
【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
而，则，使得，函数在上有个零点，
由函数有个零点，得函数有个零点，
由，得，需使，解得，
所以正数的取值范围是.
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用幂函数性质判断选项A，利用指数函数性质判断选项B，利用对数函数性质判断选项C，利用函数性质判断选项D.
【详解】选项A，因为幂函数在单调递增，又，
所以，故选项A正确；
选项B，因为指数函数在单调递增，又，
所以，故选项B正确；
选项C，因为对数函数在单调递减，又，
所以，故选项C不正确；
选项D，由函数，如图所示：

由图可知，函数在单调递增，又，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线
B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线
C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线
D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，逐个选项判断即可.
【详解】A.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，不符合题意；
B.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，符合题意；
C.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象，符合题意；
D.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，符合题意.
故选：BCD.
11. 已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设函数与图象交点为，，函数与图象交点为，.根据与的图象关于对称，与的图象也关于对称，进而结合图象利用对称性质逐项求解即可.
【详解】设函数与图象交点坐标分别为，；
函数与图象交点坐标分别为，.
由于与的图象关于对称，与的图象也关于对称，故它们的交点，关于直线对称，，关于直线对称，

则，，且，
.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再根据同增异减求解即可.
【详解】由，得或，所以函数的定义域为，
令，因为在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递增区间是．
故答案为：
13. 化简的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数取值范围是____，的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题设作出函数的图象，结合图象可判断实数的取值范围与方程的4个根，，，的取值范围，，，然后得到，最后利用的范围即可求解.
【详解】依题意，，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有4个根，，，，且，
由图象可知，且，，可得；
因为，，所以，；
所以，
因为，所以，即的取值范围是.
故答案为：；的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解指数不等式化简集合A，求出对数函数的值域化简集合B，再利用并集定义求解.
（2）由（1）求出，再按是否为空集，结合集合的包含关系列式求出m的范围.
【小问1详解】
不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
综上，，
所以实数m的取值范围是.
16. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.

（1）若，求长；
（2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）
（2）当时，取得最大值，最大值平方米.
【解析】
【分析】（1）先在中，利用正弦函数的定义求出，再在中，利用可得；
（2）先利用三角恒等变换化简，再由正弦函数的单调性计算可得.
【小问1详解】
因为，在中，（米），
故（米），
在中，则（米）.
【小问2详解】
因为四边形是矩形，可得，
所以在中，，，
在中，，则，
于是，
则矩形的面积
，
所以
由，得，
则当时，即时，，
所以当时，取得最大值，最大值为平方米.
17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示:
（1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式:
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值.
【答案】（1）比较合适，
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可；
（2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可.
【小问1详解】
由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，
得，所以，所以，
显然，也满足函数的解析式，
所以；
【小问2详解】
，
当，时，
，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，
，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
18. 已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得，并代入检验；
（2）根据题意整理可得对于任意实数x恒成立，结合指、对数函数性质分析判断；
（3）根据题意整理可得，换元令，可知在内存在零点，结合二次函数性质分析求解.
【小问1详解】
因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以.
【小问2详解】
因为，即，
可得，
即对于任意实数x恒成立，
因为，则，可得，
所以实数t的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
19. 设，其中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求不等式的解集；
（3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）将变形可求得的值，进而可求得；
（2）将，整理得，构造函数，根据该函数的奇偶性与单调性得到不等式，解不等式即可；
（3）设，由题意知在上单调递增，换元后得到在上递增，列不等式组可得结果.
【小问1详解】
因为，即，
所以，
故
.
【小问2详解】
当时，若，即，
整理得，
令函数，则函数为上单调递增的奇函数，
由得，，
化简得，解得，，
故不等式的解集为，.
【小问3详解】
因为，所以，
所以，即.
设，则，，恒有，
即在上单调递增.
由（1）可知，
.
令，
则可转化为函数，
因为为增函数，
由复合函数的单调性法则知在上递增，
注意到的单调递增区间为，，
因此，即，
解得，，
注意到，因此当时，；当时，，即；
当时，，此时无解.
综上可知，.
9
14
18
22
29
54
59
63
59
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