广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考（3月）数学试卷（解析版）(1)-A4

这是一份广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考（3月）数学试卷（解析版）(1)-A4，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：潘际栋 审题人：黄威
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知，，，则实数（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知，，所以，解得：
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
3. 在中，已知，，且a，b是方程的两个根，，则（ ）
A. 3B. 7C. D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】因为a，b是方程两个根，所以.
由余弦定理，.
即7.
故选：B
4. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断；
【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误;
对于B：因为，所以，
且，所以,所以或，故有两解，故B错误；
对于C：因为，所以无解，故C错误；
对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.
故选：D
5. 如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可；
【详解】
.
故选：C.
6. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到，由和都为三角形的内角，可得或，从而得到三角形为等腰三角形或直角三角形．
【详解】解：由正弦定理化简已知的等式得：，
，
，又和都为三角形的内角，
或，即或，
则为等腰或直角三角形．
故选：D．
7. 如图，平行四边形中，，垂足为，且，则值为（ ）
A. 3B. C. 6D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的运算律结合平行四边形的性质求解即可.
【详解】设对角线相交于点，
因为四边形是平行四边行，所以，
所以
因为，，
所以，
所以.
故选：D
8. 在中，角均在边上，且为中线，为平分线，若，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合向量线性表示及向量数量积性质得到，然后结合角平分线性质可求，然后结合三角形面积公式可求．
【详解】解：由题意得，，
所以，
即，
因为，，
，
由角平分线性质得，，
整理得，，
所以，
因为，
所以，
两边平方得，
因为，令，
所以，
解得，即，
故的面积．
故选：．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则（ ）
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，由A可得，
又，故，即向量的夹角为.故B正确；
对于C，，所以，故C错误；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BD.
10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
11. 设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（ ）
A. 关于的方程可能有两个不同的实数解
B. 关于的方程至少有一个实数解
C. 关于的方程最多有一个实数解
D. 关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，由题设知对任意向量存在唯一的有序数对使，可得
，，由唯一的对应性即可判断；对于B，取反例可得方程无实数解即可判断，对于C，判断当时方程有解，结合A的解析可判断；对于D，假设共线，可得，整理得，结合，可得，，推得方程无实数解，否定假设即可.
【详解】，，是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，
以，作为一组基底，则对任意向量，存在唯一的有序数对，使，
对于A，由方程，可得，
则有，，因与一一对应，故方程不可能两个实数解，故A错误；
对于B，若取，则方程组无解，故B错误；
对于C，当时，方程有解，结合A项结论，可知方程最多有一个实数解，故C正确；
对于D，设向量的公共始点为，终点分别为，
假设三点共线，则必存在实数使：，
即，整理得：，
由为非零向量，且两两不共线，可得，
所以，又，
所以，，
两式相加，，即，该方程无实数解，与题设矛盾，
故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置.
12. 已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合投影向量定义可得，根据模的性质求，利用向量夹角公式求结论.
【详解】由题意可得，，
所以，又，
所以，
所以，
故与的夹角为．
故答案为：.
13. 在中，若，则角等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合已知可得，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，
则，所以，
所以，
又，所以.
故答案为：.
14. 如图，曲线为函数的图象，其与轴交于，，三点，则
（1）______；
（2）若，过作一直线交曲线于，两点，则的最小值为______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由条件，结合图象确定函数的周期，结合周期公式求，将点代入函数解析式结合的范围可求，由此求，根据向量线性运算及数量积运算性质可得，由此可求其最小值.
【详解】因为函数图象，其与轴交于，，三点，
结合图象可得函数的最小正周期，又，
所以，故，
将点的坐标代入可得，
，所以，，又，
所以，所以，
，
又
所以（当且仅当，分别与，重合时取等号）
故答案为：；.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
（1）求实数b的值；
（2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【小问1详解】
依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以,
【小问2详解】
由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根，
得，
整理得，而，
因此, 解得所以
16. 已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且与方向相反，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
【答案】（1）；（2）θ＝π.
【解析】
【分析】(1)由平面向量共线的坐标表示，即可得出结果.
(2)由平面向量数量积运算，即可得出结果.
【详解】（1）设，由 和
可得或
因为与方向相反，所以．
（2）因为 ，所以
即，
所以，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【小问1详解】
由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据平面向量基本定理计算即可；
(2)根据平面向量基本定理结合三点共线求出向量最后根据数量积求出模长；
(3)应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直计算结合基本不等式求出最值即可.
【小问1详解】
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以所以.
【小问2详解】
因为为中点，四边形为平行四边形，
所以.
因为，所以.
设，
则，
，
因为共线，共线，
所以，
解得，
所以，
因为，，
所以，
所以.
【小问3详解】
因为，，
，
所以 ，
所以，
又因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以最小值.
【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可.
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.
（1）当时，称为调和点列，若，求的值；
（2）①证明：；
②已知，点为线段的中点，，，求，.
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②，
【解析】
【分析】（1）设，，结合可整理得到，由此可得的值；
（2）①根据，，，，结合三角形面积公式和角之间的等量关系可整理得到结论；
②根据可整理得到，由和可构造方程组求得结果
【小问1详解】
由知：两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，，
，即.
【小问2详解】
①在中，
，
，
则
在中，
，
，
则，
又，
，
即；
②，，即，
又点为线段的中点，即，则，
又，则，，
设，，且，
由可知：，
即，整理可得：；
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得，，
且，
则，即，