广东省东莞市东莞中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省东莞市东莞中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）(1)-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
编者语：亲爱的同学，此刻的你，已经用勤奋与智慧积累了面对挑战的底气.请深呼吸保持从容：每一道题都是展示思维火花的舞台，每一个步骤都是逻辑之美的编织.不必于求成，数学的奥秘往往藏在冷静的思考与细致的推导中.遇到难题时，试着用已知的法抽丝剥茧；面对熟悉题型，更要保持严谨避免疏忽.数学不仅是公式与符号的游戏，是培养逻辑与毅力的珍贵契机.加油哟！
一、单选题（每小题5分，共40分，请将答案填在答题卡相应位置）
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.
【详解】由题意得，，
所以．
故选：B
2. 在中，点在线段上，且，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】在中，由，得，则，
所以.
故选：A
3. 复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可.
【详解】因为，所以，
所以
故选：D
4. 已知、是两个不共线的向量，且向量，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，所以三点不共线，故A错误；
对于B，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以三点共线，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，所以三点不共线，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以三点不共线，故D错误.
故选：B
5. 已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ,选C.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
6. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，．粒子B相对粒子A的位移为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，
可得且，
所以 在上的投影向量为.
故选：C.
7. 课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果.
【详解】如下图所示，过点作，
在中，，取单位向量，
则，即，
，，，
所以，，即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.
【详解】由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得
所以，
，
设，
因为，所以，
，，
由
可得，
解得（舍去），，
由，
因为所以
故选：B.
二、多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填在答题卡相应位置）
9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，，故A选项正确.
B选项，的虚部为，故B选项错误.
C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.
D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.
故选：AD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量与任意向量共线
B. 已知非零平面向量，，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
C. 已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D. 平面上三点的坐标分别为，，，若四边形为平行四边形，则的坐标是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据零向量的定义即可判断；对于B，由共线向量基本定理即可判断，对于C，由，得，即即可判断，对于D，设，由，即可求解.
【详解】对于选项A，根据零向量的定义可知，零向量与任意向量共线，故选项A正确；
对于选项B，由不是基底，所以，
则，解得，故选项B正确，
对于选项C，由，得到，所以或，故选项C错误；
对于选项D，设，则由，，
所以，解得，所以，故选项D正确，
故选：ABD.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则为等边三角形
B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D. 若，则为锐角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A正确；
对于B，已知，得到 . 得到，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比转化为底边MC与BC之比，判断B错误；
对于C，由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；
对于D，利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D正确.
【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，
所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确；
对于B，已知，则.
这说明在线段BC上，且，那么.
因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.
对于C，因为，故，即，又，
所以，故，由于，故，
同理可得，结合，
故，可得，故为等边三角形，C正确；
对于D，，
而，所以A，B，C都为锐角，D正确；
故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置）
12. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，列出方程即可求解.
【详解】因为为纯虚数，所以，即，
所以.
故答案为：
13. 如果向量满足，则与的夹角是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为，设与的夹角为，
则
，
得，因为，所以，
即与的夹角是
故答案为：.
14. 如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由三角形外角性质结合已知条件首先求出，再在中运用正弦定理求出的长度，进一步在中运用正弦定理求出，最终结合三角形外角性质以及诱导公式即可求解.
【详解】由题意，，
所以有，
一方面在中运用正弦定理得，即，
另一方面由以及，
得，又，
所以;
又在中运用正弦定理得，
即，所以；
注意到，
所以有.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.请将答案填写在答题卡相应位置）
15. 实系数一元二次方程有虚根，另一根为.
（1）求实数的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案；
（2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案；
【小问1详解】
根据题意得，化简，
根据复数相等可得，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，
16. 在中，，，，分别为边、上的点，且，.
（1）用向量方法求证：；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)要证,只需证.
(2)由向量数量积的变形公式即可求得答案.
【小问1详解】
因为，所以,
又因为，所以，
因为,，所以，
所以，
即，得证.
【小问2详解】
由题意,
，
由勾股定理可得，
所以.
17. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求；
（2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析.
【详解】解：（1）第一小组：在中得，；在中得，
因为即
得米
米
第二小组：,得
同理得，
因为得
所以=米
所以米
（2）优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：①的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差
【点睛】本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题，属于基础题.
18. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长.
条件①：中线长为；条件②：的面积为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）选择见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A；
（2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求，即可求解；
（3）利用（1）中结果及正弦定理边转角得到，根据条件知，即可求解
【小问1详解】
中，已知，
由正弦定理得，
又，
则有，
由，，得，
则有，
由，有，所以，得．
【小问2详解】
若选择条件①：
因为，由余弦定理得，
又，有，得，
由，解得，或，，所以周长为.
若选择条件②；
由，得，
又的面积，得，
由，解得，或，，所以周长为.
【小问3详解】
由（1）知，所以，
因为，
又为锐角三角形，则，得到，
所以，则，所以的取值范围为.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到相伴函数，得到，再利用两角差的正弦函数，即可求解；
（2）由，得到的相伴特征向量，结合单位向量的计算方法，即可求解；
（3）根据题意，得到，，设点，得到向量，结合，化简得到，进而答案.
【小问1详解】
解：由向量的相伴函数为，
当时，可得，
又由，可得，所以，
所以.
【小问2详解】
解：由，
可得函数的相伴特征向量，
所以与方向相同单位向量为.
【小问3详解】
解：因为函数的相伴特征向量，
所以，
，
设点，因为，
所以，
若，则，
即，，
因为，则，故，
又因为，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得.