广东省东莞市东莞高级中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试卷（Word版附解析）

东莞高级中学2022~2023学年第二学期3月检测

高一数学

满分150分，考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．若复数（x﹣i）i＝y+2i，x，y∈R，则复数x+yi＝（　　）

A．﹣2+i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i

2．△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝ab，则角C的大小为（　　）

A． B． C． D．

3．已知复数z1＝﹣2+i，，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（　　）

A． B． C．5 D．10

4．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）

A． B． C． D．

5．已知向量，，，则的值是（　　）

A． B． C． D．

6．设向量，满足，，，则（　　）

A．2 B． C．4 D．

7．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1，F2夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（　　）

A．|G|＝|F1|+|F2| B．当时， 

C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|，

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（　　）

A．|z|＝2 B．z2＝2i 

C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程的一个根

10．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则（　　）

A．f（x）的最大值为 

B．f（x）的最小正周期为π 

C．是偶函数 

D．将y＝f（x）图象上所有点向左平移个单位，得到g（x）＝sinx﹣cosx的图象

11．设非零向量，的夹角为，定义运算．下列叙述正确的是（　　）

A．若，则 

B．

C． 

D．若 ，则 的最大值为1

12．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C＝，c＝2，则（　　）

A．bcosA+acosB＝    B．△ABC周长的最大值为6 

C．的取值范围为（，+∞）  D．的最大值为2+

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．复数（其中i是虚数单位）的虚部是__________.

14．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则B等于__________.

15．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的__________.

16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为　   　m．

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知复数，其中i为虚数单位，.

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围。

18．已知＝（1，0），＝（2，1）．

（1）若，，且A、B、C三点共线，求m的值．

（2）当k为何值时，与共线；

19．已知向量＝（2cosx，sinx），＝（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）＝﹣1．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）＝2，B＝，边AB＝3，求边BC的长．

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（sinB﹣cosB）+a＝0．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径R＝，b＝4，求△ABC的面积．

21．如图，在平面四边形ABCD中，已知，，，O为线段BC上一点．

（Ⅰ）求∠ABC的值；

（Ⅱ）试确定点O的位置，使得最小．

22．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝．

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

东莞高级中学2022~2023学年第二学期第一次月考

高一数学（答案与解析）

满分150分，考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．【解答】解：∵复数（x﹣i）i＝y+2i，∴xi+1＝y+2i，

∴x＝2，y＝1，∴复数x+yi＝2+i故选：B．

2．【解答】解：cosC＝＝＝，C∈（0，π），∴C＝．故选：B．

3．【解答】解：∵z1＝﹣2+i，∴＝，

∴复数z1和z2所对应的两点的坐标分别为（﹣2，1），（1，2），

两点间的距离为d＝．故选：B．

4．【解答】解：在上的投影向量是＝＝＝（﹣，），

故选：A．

5．【解答】选：D．

6．【解答】解：∵向量，满足||＝1，|+|＝，且•（+）＝0，

∴+2+＝3＝1+2+，且＝﹣＝1，

∴＝4，﹣＝1，∴+2+＝1﹣2+4＝3，

则|2﹣|＝＝＝＝2，故选：B．

7．【解答】解：根据题意可得：，

则，

当θ＝0时，|G|＝2F↓|＝|F1|+|F2|，故A错误；

当时，，故B正确；

，因为y＝cosθ在（0，π）上递减，

又因行李包所受的重力为G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；

当|F1|＝|G时，即，解得，

又因θ∈（0，π），所以，故D错误．

故选：B．

8．【解答】解：选：D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【解答】解：故选：ABD．

10．【解答】解：f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），

则函数的最大值为，故A正确，

函数的最小正周期T＝＝2π，故B错误，

f（x+）＝sin（x++）＝sin（x+）＝cosx为偶函数，故C正确，

将y＝f（x）图象上所有点向左平移个单位，得到g（x）＝sin（x+）+cos（x+）＝cosx﹣sinx的图象，故D错误，

故正确的是AC，

故选：AC．

11．【解答】选：ACD．

12．【解答】解：对于A：由余弦定理，得bcosA+acosB＝b×+a×＝c＝2，故A错误；对于B：由余弦定理，得cosC＝＝＝，

所以（a+b）2﹣4＝3ab≤3×＝，

所以a+b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，

故△ABC的周长为a+b+c≤4+c＝6，即B正确；

对于C：＝＝＝﹣+tanA，

因为A∈（0，），所以tanA∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞），

所以的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），故C错误；

对于D：＝bccosA＝bc•＝，

由正弦定理，得＝，

所以b2﹣a2＝（sin2B﹣sin2A）＝[sin2B﹣sin2（﹣B）]＝[﹣]＝﹣cos（2B﹣），

因为B∈（0，），所以2B﹣∈（﹣，），所以cos（2B﹣）∈[﹣1，1]，

故b2﹣a2＝﹣cos（2B﹣）的最大值为，

所以＝的最大值为2+，即D正确．

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．【解答】解：答案：-1.

14．【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝

∵a＝2＞b＝，

∴B＜A＝45°

∴可解得：B＝30°

故选：A．

15．【解答】解：取AB的中点D，则＝2，

∵，即2＝2，∴（）＝0，即，

∴P在AB的中垂线上，∴PA＝PB，又AP＝CP，

∴P为△ABC的外心．故选：A．

16．【解答】解：如图所示：

△BCD中，CD＝35m，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝120°+15°＝135°，

所以∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，解得BD＝35（m），

△ACD中，CD＝35m，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°，

所以∠CAD＝15°，所以AD＝CD＝35（m），

△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB

＝352+（35）2﹣2×35×35×cos135°

＝352×5，

所以AB＝35（m），即A、B两点间的距离为35m．

故答案为：35．

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：（1）；（2）

18．【解答】解：（1）＝（4，1），＝＝（2m+1，m），

∵A、B、C三点共线，

∴4m﹣（2m+1）＝0，即．

（2）∵＝（1，0），＝（2，1），

∴k＝（k﹣2，﹣1），＝（5，2），

又k与共线，

∴2（k﹣2）+5＝0，即k＝﹣；

19．【解答】解：（1）．

（2）若f（A）＝2，则f（A）＝2cos（2A﹣）＝2，

即cos（2A﹣）＝1，则2A﹣＝0，解得A＝，

∵B＝，边AB＝3，

∴C＝π﹣﹣＝，sin＝，

由正弦定理所以，解得BC＝．

20．【解答】解：（Ⅰ）因为c（sinB﹣cosB）+a＝0，

由正弦定理可得sinCsinB﹣sinCcosB+sinA＝0，

又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，

所以sinCsinB﹣sinCcosB+sinBcosC+cosBsinC＝0，即sinCsinB+sinBcosC＝0，

因为sinB≠0，所以sinC+cosC＝0，即tanC＝﹣，

因为C∈（0，π），所以C＝．

（Ⅱ）因为C＝，△ABC的外接圆半径R＝，

所以由，可得c＝2×＝，

因为b＝4，

由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得21＝a2+16+4a，即a2+4a﹣5＝0，解得a＝1，（负值舍去），

所以△ABC的面积S＝absinC＝＝．

21．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴，，

∵，∴，即1×2cos∠ABC＝1，，

∵∠ABC∈（0，π），∴．

（Ⅱ）法一：设（0≤t≤1），则，∴，，

∴

＝2×12+（1﹣3t）×1﹣t（1﹣t）×4＝4t2﹣7t+3，

当时，即时，最小．

法二：建立如图平面直角坐标系，则B（0，0），，C（2，0），，

设O（x0，0）（0≤x0≤2），则，，

∴，

当时，即时，最小．

22．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，

从而sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝＝

由正弦定理，得AB＝＝＝1040m．

答：索道AB的长为1040m．

（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得

d2＝（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×＝200（37t2﹣70t+50）＝200[37（t﹣）2+]，

因0≤t≤，即0≤t≤8，答：当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．

（3）由正弦定理，得BC＝＝＝500m，

乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）＝550m，还需走710m才能到达C．

设乙步行的速度为 vm/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，

答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．