广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题原卷版docx、广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 复数在复平面内对应的点在第一象限
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为为纯虚数，所以，可求出，进而可得，判断各个选项即可．
【详解】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误；
对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：C．
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先利用向量平行求出，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，，且，所以，
，.
故选：B.
3. 已知的内角的对边分别为，若，，，则为（ ）
A. 60°B. 60°或120°C. 30°D. 30°或150°
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理可得，即可得解.
【详解】在中，，，，
所以由正弦定理得，
所以，
又，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
4. 若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的定义直接求解.
【详解】因为，，向量与向量的夹角为150°，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D
5. 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求出的值，将三棱锥沿侧棱展开，分析其展开图，由余弦定理分析可得答案．
【详解】根据题意，在三棱锥中，，
则有，可得，又，则，
而，则，又△PAB，△PAC为正三角形，
将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，

根据余弦定理，最短距离
故选：D．
6. 如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，可得E为AD中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.
【详解】∵D线段BC上，且，
∴，
又E为线段AD上一点，若与的面积相等，
∴，则E为AD的中点，
又，，
所以，
故选：D
7. 设P为内点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别在线段上取点，使得，，然后利用向量条件得到，从而得出，最后利用即得结果.
【详解】
如图，分别线段上取点，使得，，则，.
由条件有，故，所以四边形是平行四边形，从而，即，故.
这意味着，所以的面积与的面积之比是，选项A正确.
故选：A.
8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，，
，和都是正三角形，则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】过点作平面，垂足为，取的中点，连接，
过点作，垂足为，连接，交于，得到四棱锥，
同理得到四棱锥，可得，
如图所示，因为和都是边长为2的等边三角形，
所以，
可得，
所以，
中间部分三棱柱为直三棱柱，
其体积为 ，
所以该五面体的体积为.
故选：A.
【点睛】求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是关于的方程的一个根，则
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.
【详解】对于 A，令 , 满足 , 但 ,，故A错误；
对于 B, 设 且不同时为 0，
，故B正确；
对于 C，，且 是关于的方程 的一个根,
也是关于 的方程 的另一个根,
解得，故 , 故 C正确,
对于D, 设 ,
则 ,
故 ,
圆 的面积为 , 圆 的面积为,
故点的集合所构成的图形的面积为 , 故D正确.
故选: BCD.
10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.
【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；
对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；
对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得
又，所以，故，所以D正确.
故选：BD
11. 在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值为2
C. 若，设，则的最大值为
D. 若在内部（不含边界），且，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据向量数量积公式和得到三角形三边长，求出三角形面积；B选项，利用极化恒等式得到，点在以为圆心，为半径的圆上，数形结合得到的最小值；C选项，建立平面直角坐标系，设，得到点轨迹，可设，表达出，利用三角恒等变换求出最大值；D选项，先由面积得到点轨迹，得到，从而得到的取值范围.
【详解】A选项，因为，所以，
解得，
又，故，
所以，由勾股定理得，所以，故A错误；
B选项，取中点，因为，，
两式平方后相减得到则，
当时，，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，因为，所以的最小值为，故正确；
C选项，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，则
当时，，整理，
所以点在以为圆心，3为半径的圆上，可设，
由得，，
则，
所以，其中，
故当时，取得最大值，最大值为，故C正确；
对于D选项，在取点，使得，过作交于，
由可得，在线段上（不含），
因为，则最小值为，又，
故，故，所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：
平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若（i为虚数单位，是的共轭复数），则______
【答案】
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数乘法的运算法则、复数模的公式进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故答案为：
13. 如图，为了测量河对岸的塔的高度，某人选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得；，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________.

【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求得．
【详解】在中，，，
由正弦定理，得
所以
在中，
所以塔高AB为.
故答案为：.
14. 在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出．
【详解】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因为，，过点作交于点，所以，
所以，即，
所以，，设，其中，
，，
，
，
当时，取最小值．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，，，，为角平分线，D在线段BC上.
（1）求AD的长度；
（2）过点D作直线交AB、AC于不同点E、F，且，，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；
（2）根据平面共线向量的性质，结合（1）的结论进行求解即可.
【小问1详解】
根据角平分线定理：，，
.
，
，即；
【小问2详解】
由（1）可知：，E、D、F三点共线，
，.
16. 将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．
【答案】（1）不可能垂直；理由见解析；（2）；．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，求得，即，进而化简，根据为钝角，即可得到结论；
（2）因为，求得，由向量的模的运算公式，求得，得到当时，，得出，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，可得，
解得，即，则，
所以，
因为为钝角，所以，故，
所以与不可能垂直．
（2）因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时，
因为，
所以，
又因为，所以．
17. 如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：
（1）若向量的坐标为（2，3），计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.
【答案】（1）；（2）命题①是真命题，命题②是假命题，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）依题意，再利用展开计算，即得结果；
（2），结合向量共线定理，分别讨论和时，即证命题①是真命题；直接利用垂直关系计算，说明时结论不成立，即证命题②是假命题.
【详解】解：（1）由题知，
故；
（2）由题知，，
命题①是真命题，证明如下：
当时，即，显然.
当时，即，至少一个不为0，不妨设，
若，则存在，使得，故，
即，因为、不共线，所以，
由代入得，即.
综上所述，命题“若，则”是真命题.
命题②是假命题，证明如下：
若，则
.
当时，结论不成立，
所以命题“若，则”是假命题.
18. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；
（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；
（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.
【小问1详解】
当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
【小问2详解】
，，，
中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
【小问3详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于的函数表达式为，最小值为.
19. 在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且．
（1）求值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，然后利用同角关系式即得；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，结合条件可得，进而即得范围，最后换元应用单调性可解.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴（舍），.
【小问2详解】
∵，
∴，
∴
∵为锐角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
令，
单调递减，单调递增，
当，当，