2022-2023学年广东省江门市江门第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

江门学校2022—2023学年第一学期期中考试

高一数学

一､单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. 下列关系式中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可.

【详解】，所以A错误；

集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B错误；

是有理数集，，所以C错误；

空集是任何集合的子集，所以D正确.

故选：D.

2. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的定义即可求解

【详解】因为，，所以，

故选：B

3. 已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先解出集合A，根据，分类讨论求出实数.

【详解】.

因为，所以，，.

当时，关于x的方程无解，所以；

当时，是关于x的方程的根，所以；

当时，是关于x的方程的根，所以.

故实数的取值构成的集合为.

故选：D

4. 函数的最小值为（    ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】结合基本不等式求得最小值.

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

故选：B

5. 函数，，则（    ）

A. 函数有最小值，最大值 B. 函数有最小值，最大值

C. 函数有最小值，最大值 D. 函数有最小值，最大值

【答案】A

【解析】

【分析】求出二次函数的对称轴，判断在区间上的单调性，进而可得最值.

【详解】对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

当时，，

所以函数有最小值，最大值，

故选：A.

6. 不等式的解集为，则的解集为 （   ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式的解集得到对应方程的根，结合韦达定理，求出，再代入所求的一元二次不等式，即可求解.

【详解】因为不等式的解集为，

所以和是方程两根，

则，解得，

所以不等式即化为，所以，

解得.

故选：A

7. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可.

【详解】由题意得， 解得； 解得；当时 解得.

综上得实数的取值范围为.

故选：D.

8. 下列说法正确的是（    ）

A. 不等式的解集为

B. 若实数满足，则

C. 若，则函数的最小值为2

D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是

【答案】B

【解析】

【分析】直接解一元二次不等式即可判断A；根据不等式的性质判断B；根据基本不等式求最值即可判断C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判断D.

【详解】对A，由解得或，故A错误；

对B，由于，对两边同除，得到，故B正确；

对C，由于，利用基本不等式知，故C错误；

对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，故D错误；

故选：B

二､多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（    ）

A.

B. 若在上有最小值－1，则在上有最大值1

C. 若在上为增函数，则在上为减函数

D. ，使

【答案】AB

【解析】

【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断．

【详解】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使

D不正确；

令，则，即

A正确；

若在上有最小值－1，即对，，使得

当时，，即在上有最大值1

B正确；

根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；

故选：AB．

10. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件

B. “”是“”的充要条件

C. 命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”

D. 命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性.

【详解】对于A，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，故，是的充分不必要条件，故A正确；

对于B，“”是“”的充要条件，故B错误；

对于C, 命题“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”,故C正确；

对于D，命题“∀x∈R，x2+x+1≠0”的否定是“∃x0∈R，”，故D正确.

故选：ACD

11. 已知幂函数，则（    ）

A.  B. 定义域为

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据为幂函数得可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C；

计算可判断D.

【详解】为幂函数，，得，A对；

函数的定义域为，B错误；

由于在上为增函数，，C对；

，，D错误，

故选：AC.

12. 已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】先根据题意得出A，然后对集合B是空集和不是空集两种情况进行讨论，进而得到答案.

【详解】，A.

若B不为空集，则，解得，

，，

且，解得．

此时．

若B为空集，则，解得，符合题意．

综上，实数m满足或．

故选：AC.

三､填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. 函数的定义域为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得有意义，则，

故且，

从而的定义域为，

故答案为：.

14. 设，，则_______．

【答案】105

【解析】

【分析】先求，再求

【详解】解：因为，

所以，

所以，

故答案为：

15. 已知正实数x，y满足，则最小值为______．

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

【详解】正数，满足：，

，

当且仅当，即，时 “”成立，

故答案为：.

16. 关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可

【详解】若,得,符合题意

若,由题知,解得

综上实数的取值范围是

故答案为：

四､解答题（共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 设全集为R，集合或，，

（1）求，.

（2）求

【答案】（1）或，；   

（2）

【解析】

【分析】按定义进行交集、并集、补集运算即可

【小问1详解】

或，；

【小问2详解】

，

18. （1）已知，求的最大值；

（2）已知，，若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）4

【解析】

【分析】（1）由题意可得，再将函数变形为，然后利用基本不等式求出其最大值，

（2）利用基本不等式结合题意可得结果.

【详解】（1）∵，∴，

因此；

当且仅当，即，y有最大值；

（2）∵，且，

∴；

当且仅当，即，时，有最小值4．

19. 已知函数

（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；

（2）若，求函数的最大值和最小值.

【答案】（1）减函数，证明见解析   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可求解；（2）根据（1）中的单调性求解最值即可.

小问1详解】

任取，， 且

则 -

因为，所以，

所以，即，

所以在区间上是减函数．

【小问2详解】

因为函数在区间上是减函数，

所以，.

20. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）当时，求的解析式；

（2）若，求的值．

【答案】（1）当时，；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）设时，，则，再根据偶函数性质即可得时，求的解析式；

（2）分和两类，分别解不等式即可得答案.

小问1详解】

解：（1）当时，，所以，

又是偶函数，∴，

∴，

所以当时，；

【小问2详解】

解：当时，

当时，，即，解得（舍去），

当时，，∴. （舍去），

综上，或

21. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.

【答案】（1）；   

（2）产量为70万盒，最大利润为1200万元.

【解析】

【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.

（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.

【小问1详解】

依题意，当时，，

当时，，

所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：.

【小问2详解】

当 时，单调递增，，当且仅当时取等号；

当 时，，当且仅当时取等号，而，

因此当时，，

所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.

22. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.

【答案】（1）和3   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；

（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可；

（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可.

【小问1详解】

当，时，由，解得或，

故所求的不动点为和3.

【小问2详解】

令，则①

由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，

即对任意的恒成立，

则，∴.

【小问3详解】

依题意设，，则AB中点C坐标为，

又AB的中点在直线上，

∴，∴，

又，是方程①的两个根，∴，即，

∴，

∵，∴.所以时，b的最小值为.