高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列教学设计，共5页。
4.2.1等差数列的概念
教学目标
1.理解等差数列的概念。
2.理解等差数列的通项公式。
3.了解等差数列的函数特征。
4.能用等差数列的通项公式解决一些简单问题。
5.让学生亲身体验“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”的研究过程，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。
教学重点：
1.对等差数列的概念的理解。
2.等差数列通项公式的推导与应用。
教学难点：
1.对等差数列函数特征的理解。
2.用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。
教学过程
(一)创设情境，引入课题
1．复习回顾：从函数的观点看，数列可看成是定义域为N*（或它的有限子集的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式是该函数的解析式。
2．引例 ：
（1）德国数学家高斯八岁计算1+2+3+···+100=? 时，所用到的数列：1，2，3，4，···，100 ①
（2）姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 ②
（3）匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位cm）: ③
引导学生观察：数列①、②、③有何共同点?
引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）
（设计意图：三个引例引出三个具体的等差数列,为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发他们的求知欲。由学生观察三个数列特点，引出等差数列的概念，以此培养学生由具体到抽象、特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。）
(二)师生互动，形成概念
[设计意图]：本环节将由学生通过数列的共同点归纳出等差数列的概念，在理解概念的基础上，将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达。
1．（由学生归纳出）等差数列的概念．
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。（教师引导学生抓住定义中有关键词并强调）
强调:①“从第二项起”（这是为了使每一项与它的前一项都存在）；
②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的本质特征）；
2．等差数列的定义的数学表达式：
[设计意图]：在学生理解等差数列概念的文字语言的基础上，进一步让学生掌握等差数列定义的符号语
言表达式，为学生今后应用等差数列的定义解决问题打下基础。
试一试：（通过此练习加深对概念的理解）
①9，6，3，0，-3，……是等差数列吗？
②数列３，３，…，３，…是等差数列吗？
③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？
= 4 \* GB3 ④若数列满足： ，则数列是等差数列吗？
[设计意图]：配合概念的理解。①、②及引例的目的在于强调公差可以是正数、负数，也可以是0；③再一次强调：“同一个常数”④目的在于强调定义中“从第二项起，每一项与它的前一项的差都要是同一个常数”。
（三）启发引导，演绎结论
[设计意图]：本环节是这节课的第二个重点内容，充分发挥学生主体作用完成通项公式的推导。
1．公式推导 探究活动一：通项公式
在不完全归纳法导出等差数列通项公式中，采用讨论式的教学方法。给出等差数列首项是，公差是，由学生分组讨论出，并猜想出。步步为营，层层推进的整个过程由学生完成，通过这种互相讨论的方式培养学生的协作意识又能化解教学难点。
为了培养学生严谨的学习态度，体现“注重方法，凸现思想” 的教学要求，在这里采用启发式教学方法向学生介绍求等差数列通项公式的另外一种方法—累加法。
2．为帮助学生从方程角度理解通项公式，培养学生用运动变化的观点看问题的能力，引导学生观察通项公式发现：
通项公式含有这4个量，只要知道其中任何三个量，通项公式就变成关于第4个量的一元方程，解方程就可实现“知三求一”。
（四）实践应用，开放思考
[设计意图]：这一环节是使学生通过例题和练习和探究活动，增强对等差数列定义及通项公式的理解运用，提高解决问题的能力。
1．公式的初步应用
例１：已知等差数列１８，１５，１２，９……，
（1）请写出。
（2）-279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？
（整个求解由学生完成，教师只强调（2）的实质上是求方程是否有正整数解，也是通项公式中已知，求项数的问题。）
［设计意图］：通过此例使学生熟悉通项公式，完成基本技能训练。
2．公式的深化
例2：已知等差数列中，求的值。
［设计意图］将例2作为对通项公式的巩固及深化，已知等差数列中任意两项，能利用通项公式熟练求出第三项，并引导发现：—是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？从而引出探究活动二。
3．通项公式的推广（获得一般意义上的通项公式，即变通式） 探究活动二：变通式
思考：在公差为的等差数列中，是否成立？
学生通过分组讨论方式很容易得到，变形成，对照通项公式并指出： 是通项公式的推广，称为通项公式的变通式。
[设计意图]：已知数列中任意两项，可利用求出,再利用变通式求出第三项，这样可避开解方程组。至此要求学生能用此法解例2强化变通式。通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性，同时，揭示出公差与对应直线的斜率之间的关系。
4．练习反馈 ，强化目标
练一练：
(1)在等差数列中,已知， ,则 ；
(2)若，则

(4) 在等差数列中,已知， ,则的值为 .
[设计意图]：为及时巩固所学内容设计4个由浅入深的练习，以此培养学生观察问题，分析问题的能力 。
5．研究与探讨--力求引导学生用函数的观点认识通项公式，培养多角度理解问题的能力。
（由等差数列通项公式得（是常数），当的时候，通项公式是关于的一次式 ，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成形式）
反之如果一个数列的通项公式为（其中，是常数），那么这个数列是等差数列吗？引出例3，学生根据等差数列的定义易判断是等差数列。由些得出：数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 (p、q是常数)。
[设计意图]：强化如何应用定义证明一个数列是等差数列的同时导出判断一个数列是否为等差数列的第二个方法.
探究活动三：等差数列的通项公式与一次函数的关系
（1）在直角坐标系中，画出的图象。这个图象有什么特点？
（2）在同一坐标系下，画出函数的图象。你发现了什么？
（3）等差数列与函数图象间的有什么关系？
（当时，也是关于正整数n的一次式；其图象是直线 上均匀排开的无穷
多个离散点。）
[设计意图]：通过此环节让学生认识等差数列通项公式的函数特征，并让他们再次体验从特殊到一般，具体到抽象的认知过程。
（五）归纳小结，提炼精华
[设计意图]：老师作适当引导，让学生反思、归纳、总结本节课所学主要内容，培养学生的概括能力、表达能力。
本节课主要学习：
一个定义：
两个公式：
两种思想：方程思想 、函数的思想
两种方法：不完全归纳法、累加法
（六）课后作业，运用巩固
必做题：课本P24 习题4.2第1,2题
选做题：在等差数列中,已知 ，求下列各式的值：
（1） ； （2）
[设计意图]：通过分层作业，以满足不同层次学生的需求，同时为下一节课研究等差数列的性质做铺垫。