人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册等差数列教学设计，共6页。教案主要包含了概念等内容，欢迎下载使用。
等差数列的概念
教学目标
1. 在实例探究中，通过运算发现规律，得出等差数列的概念，理解等差数列的概念；正确理解等差中项；
2.会根据等差数列的定义推导它的通项公式，并掌握通项公式；
3.结合图象与等差数列的通项公式，尝试分析等差数列与相应一次函数的关系；
4.根据不同的条件会进行相关的计算（比如求通项公式，根据等差中项求某一项、公差、项数）。
教学重点：
1. 理解等差数列的概念及其性质（等差中项）；
2. 等差数列通项公式的推导及应用。
教学难点：
1. 在概括等差数列的通项公式推导过程中体现的数学思想方法；
2.等差数列中an、、、等差中项之间的运算。
教学过程
环节一：复习旧知
问题1：上一节课我们学习了数列的概念，关于数列有哪些概念？（学生思考并回答问题）
知道了数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律是研究内容（如单调性、奇偶性）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用。现在，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。
（设计意图：复习旧知，检查学生的掌握情况；并导入新的“我们这节课要研究什么”。）
环节二：探究等差数列的概念
出示例子：
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈是石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81. = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m一下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25,24,23,22,21. = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为年。如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=a12n）元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar，ar-br，ar-2br,ar-3br,……。 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
问题2：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？学生说，教师给予适当的引导。
如果用{an}表示数列 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，那么有a2−a1=9，a3−a2=9，……，a9−a8=9。这表明，数列 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②- = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④也有这样的取值规律。（板书课题：4.2.1 等差数列的概念）
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。（让学生分别说一下数列 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④的公差。）
（设计意图：让学生通过观察、计算、猜测得出这4个数列的共同特征，归纳出一般情况的，即等差数列的概念。）
练习1：判断下列数列是否是等差数列。如果是，写出它们的公差。
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴95,82,69,56,43,30；
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111；
= 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶1，-2,3，-4,5，-6；
= 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷1，1112，56。
学生思考并进行相关计算，教师给予适当的点评。 = 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷符合等差熟数列的概念，是最简单的等差数列。说它简单是因为它只有3项，项数不能再少了！得等差中项的定义：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b，即A=a+b2。等差中项等于首项与末项的算术平均数。
（设计意图：设置练习让学生及时巩固对等差数列定义的认识，并给出只有3项的等差数列，引出等差中项的定义。）
环节三：探究等差数列的通项公式
设一个等差数列an的首项为a1，公差为。
问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
归纳推理：a2−a1=d，a3−a2=d，a4−a3=d，……
于是
a2=a1+d，
a3=a2+d=a1+2d，
a4=a3+d=a1+3d……
归纳可得
an=a1+n−1d n≥2.
当n=1时，上式为a1=a1+1−1d=a1。这就是说，上式当n=1时也成立。
因此，首项为a1，公差为的等差数列an的通项公式为
an=a1+n−1d
（设计意图：让学生体会计算的过程，对算理有一个清晰的认识；同时强调“累加法”的算法。）
环节四：探究等差数列与相应的一次函数之间的关系
问题4：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于an=a1+n−1d=dn+a1−d，所以当d≠0时，等差数列an的第n项an是一次函数fx=dx+a1−d x∈R当x=n时的函数值，即an=fn。
如图，在平面直角坐标系中画出函数fx=dx+a1−d的图象，就得到一条斜率为d，截距为a1−d的直线。在这条直线上描出点1，f1，2，f2，3，f3,……,n，fn,……,就得到了等差数列an的图象。事实上，公差d≠0的等差数列an的图象是点n,an组成的集合，这些点均匀分布在直线fx=dx+a1−d上。
反之，任给一次函数fx=kx+b(k，b为常数)，则f1=k+b，f2=2k+b，……，fn=nk+b，……构成一个等差数列nk+b，其首项为k+b，公差为k。
（设计意图：从表达式和图象两个方面说明等差数列与相应的一次函数之间的关系。利用图象来说明等差数列与相应的一次函数之间的关系，直观形象，有助于突破难点。）
环节五：利用通项公式解决等差数列的一些问题
例1 = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴已知等差数列an的通项公式为an=5−2n，求an的公差和首项；
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵求等差数列8,5,2，……的第20项。
例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？
学生自主完成，集体订正，最后进行归纳：等差数列的这一类题怎么做？原理是什么？练习：
1、已知an是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数。
a1
a3
a5
a7
d
-7
8
2
-6.5
已知在等差数列an中，a4+a8=20,a7=12，求a4。
（设计意图：通过知识的运用进行巩固）
环节六：课堂小结（学生总结，教师适当补充）
说一说这节课我们学习了哪些知识？用到了什么方法？
环节七：达标练习
1、在5和21中插入3个数，使这5个数成等差数列。
2、已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，求a20。
课后作业：
①完成练习册本部分练习1——10题，11、12题选做
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②预习课本例3和例4
板书设计：
4.2.1等差数列的概念
一、概念
等差中项A=a+b2
通项公式an=a1+n−1d
与一次函数的关系
教学反思：学生在推导等差数列的通项公式时，遇到了困难，我给出了两种提示：一是仔细观察这些式子的特点，再思考通项公式是什么；二是可以和同桌、前后桌进行讨论。然后有部分同学用归纳推理的办法得出了通项公式，有少部分同学用累加法得出了通项公式。由此突破了教学难点。