数学必修 第二册空间直线、平面的垂直教学课件ppt

这是一份数学必修 第二册空间直线、平面的垂直教学课件ppt，共75页。PPT课件主要包含了直线与平面垂直，旗杆与地面垂直，大桥的桥柱与水面垂直，图形语言，符号语言，五个条件缺一不可，ACD，反思感悟，题型强化训练，练习1等内容，欢迎下载使用。
1.能准确表述直线与平面垂直的定义，掌握其符号语言表示，理解点到平面的距离的概念；2.经历直线与平面垂直判定定理的探究过程，能准确表述定理内容，明确定理的条件与结论，能运用定理证明简单的线面垂直问题；3.理解直线与平面所成角的定义，掌握其取值范围，能按“作图—定角—计算”的步骤求解简单的线面角；4.感悟立体几何中转化与化归、数形结合的数学思想，提升空间问题与平面问题相互转化的能力，增强逻辑推理与直观想象核心素养。
8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定
花，体操运动员倒立需与单杠竖直平面垂直以保持平衡，铅球下落轨迹与地面垂直。这些场景都涉及直线与平面垂直的知识，本节课将结合这些竞技场景，学习直线与平面垂直的判定方法，解锁直线与平面所成角的计算技巧。
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
生活中有很多直线与平面垂直的实例
如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．
对于地面上不过点B的任意一条直线B′C'，总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B′C'也垂直．因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
直线与平面垂直的相关定义：　一般地，如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足．
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
点到平面的距离：　过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
如图，PP′⊥平面α，P′为垂足，线段PP′的长度即为点P到平面α的距离.
直线与平面垂直的判定定理
如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法?
容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直．
事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看成是由两条相交直线BD，CD所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直．
直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化.
两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
【练习】下列说法正确的是 ( ) A.若直线 l 与平面α内的所有直线都垂直，则 l ⊥α； B.若直线 l 与平面α内的无数条直线都垂直，则 l ⊥α； C.若直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则 l ⊥α； D.若 l ⊥α，则直线 l 垂直于平面α 内的任意一条直线．
求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？
直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
问题1：三棱锥P-AOC中，共有几个直角三角形？
答案：4个，在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥 称之为鳖臑（biē nà）
求直线与平面所成的角的步骤(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角．(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角．(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
题型一　直线与平面垂直的定义
下列命题正确的是（ ）
A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直；(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．
题型二、直线与平面垂直的判定定理
1.应用线面垂直判定定理的注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把证明线面垂直转化为证明线线垂直．即l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.
2.证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
题型三　 直线与平面所成的角
求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
题型四　直线与平面垂直的应用
【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，试题属于中档试题.
1．关于三角形垂心、内心、外心的确定首先要明确三种心的定义及其性质，再通过垂直关系确定点满足的条件，对应相应的性质进行判断．2．关于垂直的条件的确定(1)借助直观想象，选取特殊点后进行证明，若满足垂直关系，则即为要求的点．(2)设出要求的点，通过计算确定点的位置，一般需要利用勾股定理构造方程解题．
8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定
1．知识清单：(1)直线与平面垂直的定义．(2)直线与平面垂直的判定定理．(3)直线与平面所成的角．
2．方法归纳：转化思想，数形结合．
3．常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直．
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示．
教材152页 练习.2,3题
1．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
不一定，如圆锥的母线与底面所成角都相等，但圆锥的任意两条母线是相交直线，不是平行直线．
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的正射影垂直。