专题05 二次函数（6大题型8难点4新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

这是一份专题05 二次函数（6大题型8难点4新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案，文件包含专题05二次函数6大题型8难点4新考法题型清单原卷版docx、专题05二次函数6大题型8难点4新考法题型清单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共163页， 欢迎下载使用。

题型一：二次函数图象与几何变换
【中考母题溯源·学方法】
【典例1-1】（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（ ）
A．18B．16C．20D．24
【典例1-2】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】难点01：抛物线翻折或旋转后平移
（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ．
【变式1-2】难点02：根据对称特征确定参数值
（2025·湖北·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，x的取值范围为或．下列四个数中可能为k的值是（ ）
A．B．0C．3D．5
【变式1-3】新考法01：新定义型阅读理解题
（2025·浙江·三模）已知二次函数（的实数）
(1)二次函数图象的对称轴是______．
(2)当时，
①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值．
②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围．
对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则 ．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
4．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为 ．
5．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ．
6．（2024·山东德州·一模）如图，一组轴正半轴上的点满足条件，拋物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点和；第二条抛物线以为顶点且经过点和第条抛物线以为顶点且经过点，依次连接抛物线的顶点和与轴的两个交点，形成．请求出满足三角形面积为整数的的值的和 ．
7．（2025·四川成都·二模）定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线．
(1)若抛物线经过点．
①求的值．
②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值．
对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围．
题型二：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】难点03：判断须变形的关系式
（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-2】难点04：引入其它参数的相关结论判断
（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表：
其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式2-3】新考法02：结合新定义
（2025·四川成都·三模）若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则 ；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4， ．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
5．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为 ．
7．（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
8．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线 （a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论：
①关于x的一元二次方程一定有一个根是小于的实数；
②；
③若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
④当时，y随x的增大而减小；
其中正确的结论是 ．（填写序号）
9．（2025·宁夏银川·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；
其中正确的结论有 ．
10．（2025·青海西宁·三模）已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足则；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为 ．
11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ．
12．（2025·湖北武汉·二模）对于实数，定义一种运算，当，则，当，则，当，则．对于函数，下列结论：①点在函数图象上；②当函数值为0.25时，自变量的值为0.5或1.5；③当时，函数有最小值为0；④若直线与函数图象有唯一的公共点，则，；⑤若直线与函数图象有三个公共点，则．其中正确的结论是 （填序号）．
题型三：二次函数最值问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ．
【变式3-1】难点05：含参二次函数的最值
（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）．
A．1B．2C．5D．1或
【变式3-2】难点06：含参最值范围
（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ．
【变式3-3】新考法03：新定义型阅读理解题
（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．
(1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；
②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式；
(2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·陕西西安·一模）已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（）
A．B．C．D．
2．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ．
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）．
(1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？
(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？
5．（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本．
(1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
6．（2026·浙江·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，）
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长．
(3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围．
7．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若．
①当时，该函数的最小值为，求的值；
②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系．
8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
(1)若点为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段长度的最大值；
(2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围．
9．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2025·天津滨海新·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点．
(1)当时，
①求点和点的坐标；
②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值；
若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值．
题型四：抛物线与直线（线段）交点问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【变式4-1】难点07：解析式不确定时结合性质判断
（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
【变式4-2】新考法04：新定义型阅读理解题
（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
4．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
5．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
6．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
题型五：销售利润问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例5】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【变式5-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【变式5-2】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【变式5-3】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
2．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．
(1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围．
3．（2026·湖北·模拟预测）某店铺销售一批文创产品毛绒玩具，每件毛绒玩具进价元，规定销售单价不低于元，且单件利润不高于，经市场调查发现，该毛绒玩具每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)将毛绒玩具销售单价定为多少元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)当毛绒玩具销售单价是多少元时，商店每周销售毛绒玩具获利元？
题型六：抛物线型应用问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例6】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【变式6-1】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【变式6-2】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
【变式6-3】难点08：与一次函数结合
（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
2．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
3．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围．
4．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
5．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
6．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
7．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
9．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
10．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
题型一：二次函数图象与几何变换
难点01：抛物线翻折或旋转后平移
难点02：根据对称特征确定参数值
新考法01：新定义型阅读理解题
题型二：关于二次函数系数的结论判断问题
难点03：判断须变形的关系式
难点03：引入其它参数的相关结论判断
新考法02：结合新定义
题型三：二次函数最值问题
难点05：含参二次函数的最值
难点06：含参最值范围
新考法03：新定义型阅读理解题
题型四：抛物线与直线（线段）交点问题
难点07：解析式不确定时结合性质判断
新考法04：新定义型阅读理解题
题型五：销售利润问题
题型六：抛物线型应用问题
难点08：与一次函数结合
二次函数图象的平移
二次函数图象的对称
自变量取值范围内的最值问题
已知自变量的取值范围和最值求参数
抛物线与动直线的交点问题
抛物线与动线段交点问题
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
材料一
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
每件售价/元
…
70
…
周销售量/件
…
300
…
水平距离
0
2
3
5
6
…
竖直高度
1.1
2.3
2.6
2.6
2.3
…
生长素浓度：x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
活动主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案
考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角为，并查得：，
，
．
隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
（秒）
0
…
（米）
0
4
6
…
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…