专题04 一次函数与反比例函数（5大题型7难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

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题型一：一次函数与方程（组） 、不等式的关系
【中考母题溯源·学方法】
【典例1-1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，
∴向右平移3个单位得，
∴函数与轴的交点坐标为，
∵，
∴结合图象可得：，
故选：C．
【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：∵点是一次函数的图象一点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴随增大而增大，
∴当时，，
故选：A．
【变式1-2】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
【答案】
【详解】∵直线与直线交于点，
∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，
即方程组的解为点A的坐标．
故答案为：．
【变式1-3】难点01：结合新定义
（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ．
【答案】或
【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上，
设直线l的解析式为，将点和代入解析式得：
，解得，
∴直线l的表达式为，
当时，，即直线l与y轴交点为，
当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，
∴，
∴，
∴直线的表达式或．
故答案为：或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·宁夏银川·二模）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】解：由题意，联立方程组，
，
，
在第二象限．
故选：B．
2．（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵一次函数的图象与轴相交于点，
∴当时，一次函数的图象在x轴上方，
∴关于的不等式的解集为．
故选：B．
3．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是，
∴关于x的不等式的解集是，
故选：C．
4．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点，
∴当时，则，
故选：B
5．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）

A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【详解】解：对于，当时，，
∴点B的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
∴．
故选：B．
6．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，
联立直线，的解析式组成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，
同理：点的坐标为，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示，
，
，
直线，，围成三角形的面积为．
故答案为：．
7.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【详解】解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
8.（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，
当时，则，
当时，则，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，
∴，且，
∴，
当，时，和恒成立，故符合题意；
当时，则且，
当时，则，
解不等式得，解不等式，
∴；
当时，则，
解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；
综上所述，．
9．（2025·河北邯郸·三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积单位：且与温度单位：满足一次函数关系.嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线上，淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据虚线上的点如图所示．
(1)求直线的解析式．
(2)嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确．
(3)淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值．
【详解】（1）设直线AB的解析式为、b为常数，且
将和分别代入，
得，
解得，
直线AB的解析式为
（2）根据题意，得，
解得，
当时，，，与已知的气体的体积矛盾，
不存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍，
嘉嘉的说法不正确．
（3）根据题意，得，
经整理，得，
与x无关，
，
10．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点．
(1)在图中画出直线，并求直线的解析式；
(2)若直线与线段有交点，求的取值范围；
(3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴上有一点，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点，
，
如图1，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）得，直线的解析式为，
∵轴，
∴的横坐标为，
∵直线与线段有交点，
∴，
解得：；
（3）的取值范围是或．理由如下：
由，
经过定点，
分两种情况讨论：
当时，如图2，
直线围成的封闭图形不包括边界有个整点，
当时，，当时，，
联立得：，
解得：，
当时，如图3，
∴当时，，当时，，
联立得：，
解得：，
综上所述，的取值范围是或．
题型二：一次函数中的方案选择问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2-1】（购买方案）（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．
(1)请求出A，B两种书架的单价；
(2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于种书架数量的，请设计费用最少的购买方案．
【详解】（1）解：设种书架的单价是元，则种书架的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种书架的单价是1200元，种书架的单价是1000元；
（2）解：现需购进15个书架用于摆放书籍，且购买个种书架，
购买个种书架．
购买种书架数量不少于种书架数量的，
，解得：．
设购买总费用为元，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，
费用最少时的购买方案为：购买6个种书架，9个种书架．
【变式2-1】（电话计费）（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、
当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元；
当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为
总结如下表：
（2）解：当时，
，故选方式B计费．
（3）解：令，有解得
∴当时，方式A更省钱；
当时，方式A和B金额一样；
当时，方式B更省钱．
【变式2-2】（租车问题）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，
解得：，
∴，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，
，
解得：，
∵a为整数，
∴或，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
，
∵，
∴y随a的增大而增大，
∴当时，y最小，，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【变式2-3】（购买方案）（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得：
，解得：；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元；
（2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个；
∴，
解得：，
∴，
；
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；
（3）解：由题意，得：，
∴随着的增大而增大，
∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）；
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务．
【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，
∴，
解得，，
∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元；
任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，
∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍
∴，
解得，，
设购买总费用为，
∴，
∵，
∴越小，的值越小，
∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元，
∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元．
2．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．
(1)求A、B这两种书籍的进货单价．
(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．
(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？
【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得
，
解得，
答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元；
（2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本，
，
解：①得，，
解：②得，，
∴，
∴有三种方案：
1．A进110本，B进130本．
2．A进111本，B进129本．
3. A进112本, B进128本；
（3）解：设获利为w元，根据题意，得
，
∵，
∴获利w随着m的增大而减小，
当时，获利w最大，
当时，即，
选第一种方案：
获利（元），
所以最大获利为2350元．
3．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案．
【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元，
根据题意得：
解得．
经检验∶ 是原方程的解且符合题意．
此时
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元．
（2）解：根据题意得，
解得，
由题意得：
∵，
∴w随x的增大而增大
∴当时，w取得最小值，最小值为12800，
答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元．
4．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元．
(1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式．
(2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．
(3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？
【详解】（1）解：，
和x之间的函数关系式为；
（2）解：，
解得，
∵，
∴ x的可能取值为的整数，共10种方案，
费用函数中，y随x增大而减小，
当时，费用最低，
此时元，
对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节，
故答案为：共10种方案，最低费用为85500元；
（3）解：解方程，
化简为，满足，，
整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案．
5．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元．
(1)求两种型号充电桩的单价；
(2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案：
①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值；
②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元，
根据题意得，
解得：
答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元；
（2）解：① ，
解得：，
答：的值为10；
②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元，
购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，
，
解得．
的取值范围为，且为正整数，
根据题意，可得，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，此时．
答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台
6．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．
则，
得．
答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元．
（2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元．
则，
解得，
又a为正整数，
，11，12，13，14，15．
由题意得．
，
w随a的增大而增大，
时，w有最小值，最小值为（元）．
答：共有6种购买方案，最低费用为900元．
7．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
题型三：一次函数中费用最少、利润最大问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（一次函数与二元一次方程组结合)（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
【变式3-1】（一次函数与二元一次方程组、不等式综合）（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件，
根据题意得，
解得：，
答：生产甲、乙两款服装分别为件，件；
（2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
根据题意得，
解得，
设获得的总利润为元，
∴，
∵，且为正整数，
∴当时，最大利润为（元），
则（件），
答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
【变式3-2】（一次函数与分式方程结合）（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
【变式3-3】难点02：利润最大时求参数的值
（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元，
∴
根据题意得：；
（2）解：设可获得利润为元．
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为2250，
答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元；
（3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．
∴该函数图象的对称轴为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，W取得最大值，
∴，
∴（不合题意舍去），
∴．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠．
活动一：所购商品均按原价八折出售；
活动二：所购商品按原价每满200元减50元．
(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．
(2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．
【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元），
，
则选择活动二时需付（元），
故答案为：256，270；
（2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为，
活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
当时，得，解得500，
∴当时，选择活动一更省钱；
当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；
当时，选择活动二更省钱．
2．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，
由题意列方程得：，
∴，
∵，均是正整数，
∴当时，，
当时，，
答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
（2）解：设大号编织个，则小号编织个，
则，
解得，
∵为正整数，
∴，
设总利润为元，则
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．
3．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元．
由题意得：，
解得：
经检验：符合题意，
，
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元．
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元．
由题意得：，
解得：．
又两种型号的帐篷均需购买，
．
，
，
随m的增大而减小
当时，W取最小值，，
此时，
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元．
4．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元．
(1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元．
(2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
，两款帆布袋的单价分别为8元和5元；
（2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元，
，
，
随的增大而增大．
购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的，
，
且为正整数，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元．
题型四：反比例函数与一次函数结合
【中考母题溯源·学方法】
【典例4-1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
【典例4-2】（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
【变式4-1】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
【变式4-2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
(1)求出直线对应的函数表达式；
(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【详解】（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：由作图可得，即，
设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
【变式4-3】难点03：结合二次函数的新定义
（2025·湖南娄底·模拟预测）如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足y随x的增大而增大，那么称这个函数为“双赢函数”．例如我们学过的反比例函数就是一个双赢函数．
(1)已知双赢函数的图象经过和，求该双赢函数的解析式；
(2)若关于x的函数是双赢函数（k为整数）与直线（d为常数）有两个交点A、B，且A、B两点间的距离为定值9，求d的取值范围；
(3)若关于x的函数是双赢函数．当时，函数的图象关于原点对称．当时，y的最大值为P，最小值为Q，且，求的值．
【详解】（1）解：∵双赢函数的图象经过和，
∴，
解得：，，
∴该双赢函数的解析式为；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∵k为整数，
∴，
∴该双赢函数的解析式为，
当时，如图，
此时该双赢函数的图象与直线没有交点；
当时，如图，
由得：，
∴点，
由得：，
∴点，
∵A、B两点间的距离为定值9，
∴，
∴或3（舍去），
观察图象得：当时，该双赢函数的图象与直线有2个交点，
∴，
综上所述，d的取值范围为；
（3）解：∵当时，函数的图象关于原点对称，
∴设点是函数的图象上一点，则点在函数的图象上一点，
∴，解得：，
∴双赢函数的解析式为，
如图，
当时，
当时，y取最小值，为；当时，y取最大值，为，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
当，即时，
当时，y取最小值，为；当时，y取最大值，为，
∵，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
当，即时，
当时，y取最小值，为；当时，y取最大值，为，
∵，
∴，
此方程无解；
综上所述，t的值为．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合．
故选：D．
2．（2026·江西·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，以为斜边构造直角三角形，点C落在x轴上．
(1) ； ；
(2)当点B的横坐标为5时，求的长．
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴点A的坐标为，
∴.
把点代入
得，
故答案为：4，4；
（2）解：将代入得，
∴，
如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，H，
则，，
点C在上，设，则.
∵，
∴，
∴，
，即，
，
解得，
∴当点B的横坐标为5时，的长为或．
3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
【详解】（1）解：联立方程组得，
解得或’
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围，
∴不等式的解集为或．
故答案为：，，或；
（2）解：设与y轴的交点为M，
令时，，
则点M的坐标为，
设C点的坐标为，
由题意知， ，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴点C的坐标为或．
4．（2026·湖北襄阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式得，解得，
∴反比例函数解析式为；
把点B的坐标代入反比例函数解析式得，解得，
∴点B的坐标为，
把点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：如图所示，设一次函数与y轴交于点C，
在中，当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或．
5．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
由题意得点的运动路程为，
∴与点的运动路程的比为；
当在上时，，此时，
当在上时，，此时，
∴由等高可以得
∴，
综上所述，，；
（2）解：函数图象如图所示：
由函数图象可得，当时，有最大值；
（3）解：根据函数图象可得，当时，，
∴结合函数图象，当时，的取值范围为．
6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点在直线上，
∴，解得，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作轴于点，交于点，
∵点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点的纵坐标为4，
∴，解得，
∴点的坐标为．
7．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下：
设点，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图，连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
代入得，
，
解得；
②∵点在轴上，
∴，，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号；
延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点；
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故当最大时，点P的坐标为．
8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，即．
将代入得，
∴．
∴直线即为．
令，则，
∴．
的坐标为．
∴．
综上所述，．
（2）解：设点C的坐标为．
若和为对角线，
根据平行四边形对角线互相平分可得：，
解得
∴，
把代入得：．
若和为对角线，同理可得，．
若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．
故点C的坐标为或，．
（3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．
∴．
∴．
设，，则，．
∴，，，，
∵，，
∴，
∴．
∴．
解得，
．
∵点E与点D关于y轴对称，
∴．
∵，
∴直线表达式为．
将代入得，
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
∴，．
直线的表达式为．
∵有且只有一点，使得，
∴直线与只有一个交点，
联立方程组
消去，整理得．
．
解得．
9.（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的倍还大(为常数)，则称此点为“倍大点”，例如、都是“倍大点”．
【验证感知】若时，“倍大点”为，则一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为
【知识应用】若反比例函数 存在“倍大点”，求的取值范围；
【拓展延伸】若时，二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，求的取值范围．
【详解】解：[验证感知]当，“倍大点”为，
则“倍大点”在上，
联立
解得：
∴一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为；
[知识应用]解：依题意，“倍大点”在上，
当反比例函数 存在“倍大点”
∴有解，
∴
∴
解得：或
[拓展延伸]∵，则“倍大点”在上，
设，
∵二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，
①当时，
即，
∴
解得：
②当时，，且当时，

解得：
综上所述，或
10．（2025·辽宁朝阳·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数，其“倍值点”为．
(1)函数是“倍值函数”吗？为什么？
(2)求函数的图象上的“倍值点”；
(3)若关于x的二次函数的图象上有唯一的“倍值点”A，点在该函数的图象上．
①求点A的坐标；
②该函数图象在点A与点B之间的部分记为图象G（G包含A，B两点），图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，求t的值．
【详解】（1）解：函数不是“倍值函数”，理由如下：
∵，
令，
∴，此时方程无解，
∴不是“倍值函数”；
（2）解：∵，
令，
∴，
∴或，
∴图象上的“倍值点”为，；
（3）解：①∵关于x的函数的图象上有唯一的“倍值点”A，
∴有唯一的解，
即有唯一的解，
∴，
解得，
∴函数，
令，
∴，
解得，
∴，
∴点A的坐标为；
②∵点在函数的图象上，，
∴，
即，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，最小值，当点的横坐标距离对称轴越远，则纵坐标的值越大，
∵，，，
∴当时，有最大值，
∴．
11．（2025·湖南·三模）已知关于x的一次函数与y轴的交点为P，也是关于x的函数，若函数图象上存在点，满足轴，则称是的“平等函数”．例如与y轴的交点为，图象上存在一点，且轴，所以称是的“平等函数”．根据上述约定，解决以下问题．
(1)已知函数，判断下列函数是否为它的“平等函数”，若是，在括号内打“√”，若不是，在括号内打“×”
①（ ）；②（ ）；③（ ）．
(2)若反比例函数是一次函数的“平等函数”，且它们的交点为A，B，且，则一次函数是否经过定点，如果经过某定点，请求出坐标；如果不经过定点，请说明理由．
(3)若二次函数是一次函数的“平等函数”且一次函数的图象经过二次函数的顶点，求当时，一次函数与坐标轴围成的三角形面积S的范围．
【详解】（1）解：当时，，
∴函数与轴的交点坐标为，
由定义可知函数图象的上存在点，满足轴，
则，
∴，
当时，
①，满足题意，故：√；
②，不满足题意，故：×；
③，故：×；
故：√；×；×；
（2）解：不存在，理由如下：
∵反比例函数是一次函数的“平等函数”，
且时，；时，，
∴，
∴，
联立，
得，
∴，，
如图，当时，；
当时，；
故，
∴，
∴，
∵，，
∴，
令，
则，
解得：或，
∴或，
∴或，
∴一次函数或，
，当时，，即过定点；
，当时，，即过定点；
综上，一次函数满足时过定点；满足时过定点，并不是恒过一个定点；
（3）解：∵二次函数是一次函数的“平等函数”，
且时，；时，，
∴，
∵的对称轴为直线，
∴其顶点纵坐标为，
∵一次函数的图象经过二次函数的顶点，
∴，
∴，
∴，
当时，；当时，，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积，
设，
∴，
∵，
∴，
对于二次函数，对称轴为直线，开口向上，
∴当，最小值为，最大值为，
即，
∴，
∴．
12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点．
(1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可）
(2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值；
(3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围．
【详解】（1）解：依题意，设和是与函数这两个函数的一对理想点，
∴，整理，得，
解得：或，经检验，是所列方程的解，
∴和或和是这两个函数的理想点，
故答案为：和（或和）；
（2）解：∵对于任意实数k，函数与始终为理想函数，
∴，
，
即，
∴，，
∴；
（3）解：∵函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，
设和是这两个函数的一对理想点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
当时，取得最大值0，
∴．
题型五：反比例函数中的面积问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例5】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B
【变式5-1】难点04：作坐标轴上的垂线构造模型
（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，
点、在双曲线上，
∴，
轴，轴，轴，
∴，
∵，且共底，
∴在上的高相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴，
故选：C．
【变式5-2】难点05：面积的转化、分割或补形
（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ）
A．25B．26C．D．
【答案】D
【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为，
则点B的坐标为，点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴点F的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，
解得，
∴
，
故选：D．
【变式5-3】难点06：结合多个双曲线
（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-4】难点07：利用k的几何意义将面积进行转化

（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】解：矩形的对称中心是，
连接，则点在一条直线上，
则，
∵的面积为4.5，
∴，
∴
∵，
，
，
设点，则，
∴，
．
故选：B．
2．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
3．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
轴，，
，
．
点A在反比例函数图象上，
，
，
且，
∴，
∴．
故选A．
4．（2026·广西柳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是 ．

【答案】
【详解】解：把点分别代入和得：
，解得：，
，解得：，
∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
点P是线段上一点，设，
把点代入可得，
，
，
，且，
当时，S有最大值，且最大值是2，
当或时，S有最小值，且最小值是，
∴S的取值范围为．
故答案为：．
5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
；
，当时，有最小值；
故答案为：．
6．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，
∴，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·河南濮阳·一模）已知反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A， B．连接，，若，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：，轴，
，
解得
，
解得，
故答案为．
8．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ．
【答案】10
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
设，
∵若，，
∴，
解得，
∵顶点A在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：10．
9．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示）
【答案】
【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为，
点对应的垂线段围成的矩形面积也为，
．
故答案为：．
10．（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，
轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵点A在第二象限，
∴，
故答案为：．
11．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ．
【答案】3
【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接．
点在上，
；
点在上，
；
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
12．（2026·湖北·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图像于点，连接，．若，求的取值范围．
【详解】（1）解：将点代入，得，
则反比例函数的解析式为；
将点代入到反比例函数中，
得，
解得，即，
将点、代入中，
得，
解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
∴，
∵轴，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得．
13．（2026·江西·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，．
(1)求k的值；
(2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式．
【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，
轴，
轴，
∴由平移知轴，
则 ．
由平移可知四边形是平行四边形，
∵点O 是平行四边形的中心，


∵点O 是平行四边形的中心，
，，
，
，
，

．
∵函数 的图象在第四象限，
，
．
（2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，
∴点A 的纵坐标为，
∴ 点 B 的纵坐标为1．
将代入 得，
．
将代入 得，
．
设直线的解析式为，
将，分别代入，
得
解得
∴直线的解析式为．
14．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于和两点．
(1)求m、n的值和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)连接，求的面积．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于和两点，
∴，
∴，
∴，
把代入一次函数解析式得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或；
（3）解：如图所示，设直线交x轴于点C，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴．
15．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【详解】（1）解：如下图所示，连接交于，
四边形是菱形，
，，
，
，
点的坐标是，
将代入到中，
得：，
解得：；
（2）解：，
半径为；
，
，
，
由菱形的性质可知，，
，
的长；
（3）解：如下图所示，
，
，
，
在菱形中，，
，
，
．
题型一：一次函数与方程（组） 、不等式的关系
难点01：结合新定义
题型二：一次函数中的方案选择问题
购买方案
分段计费方案
租车方案
题型三：一次函数中费用最少、利润最大问题
一次函数与二元一次方程组结合
一次函数与二元一次方程组、不等式综合
一次函数与分式方程结合
难点02：利润最大时求参数的值
题型四：反比例函数与一次函数结合
难点03：结合二次函数的新定义
题型五：反比例函数中的面积问题
难点04：作坐标轴上的垂线构造模型
难点05：面积的转化、分割或补形
难点06：结合多个双曲线
难点07：利用k的几何意义将面积进行转化
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
免费
B
108
免费
主叫时间/分钟
方式A计费()
方式B计费()
78
108
108
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
背景
某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信．
素材一
购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等；
素材二
购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元；
素材三
该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一
每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．
方案一
方案二
两种型号的充电桩分别按单价的九折销售
两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费．
款式
成本（元/件）
售价（元/件）
甲
700
1000
乙
800
1200
函数图象的判断
确定不等式的解集
方法1：利用k的几何意义
方法2：利用代数法